Let $X$ be a connected, compact complex manifold, $S\subset X$ a separating real hypersurface, so $X$ decomposes as a union of compact complex manifolds with boundary $\bar{X}^\pm $ with $\bar{X}^+\cap \bar{X}^-=S$. Let $\mathcal{M}$ be the moduli space of $S$-framed holomorphic bundles, i.e. of pairs $(E,\theta )$ of fixed topological type consisting of a holomorphic bundle $E$ on $X$ and a trivialization $\theta $ – belonging to a fixed Hölder regularity class $\mathcal{C}^{\kappa +1}$ – of its restriction to $S$.
Our problem: compare, via the obvious restriction maps, the moduli space $\mathcal{M}$ to the corresponding Donaldson’s moduli spaces $\mathcal{M}^\pm $ of boundary framed formally holomorphic bundles on $\bar{X}^\pm $. The restrictions to $\bar{X}^\pm $ of an $S$-framed holomorphic bundle $(E,\theta )$ are boundary framed formally holomorphic bundles $(E^\pm ,\theta ^\pm )$ which induce, via $\theta ^\pm $, the same tangential Cauchy–Riemann operator on the trivial bundle on $S$. Therefore one obtains a natural map from $\mathcal{M}$ into the fiber product $\mathcal{M}^-\times _\mathcal{C}\mathcal{M}^+$ over the space $\mathcal{C}$ of Cauchy–Riemann operators on the trivial bundle on $S$. Our main result states: this map is a homeomorphism for $\kappa \in (0,\infty ]\setminus \mathbb{N}$. Note that, by theorems due to S. Donaldson and Z. Xi, the moduli spaces $\mathcal{M}^\pm $ can be further identified with moduli spaces of boundary framed Hermitian Yang-Mills connections.
The proof of our isomorphism theorem is based on a gluing principle for formally holomorphic bundles along a real hypersurface. The same gluing theorem can be used to give a complex geometric interpretation of the space of solutions of a large class of Riemann–Hilbert type problems.
We generalize these results in two directions: first, we will replace the decomposition $X=\bar{X}^-\cup \bar{X}^+$ associated with a separating hypersurface by the manifold with boundary $\widehat{X}_S$ obtained by cutting $X$ along any (not necessarily separating) oriented hypersurface $S$. Second, instead of vector bundles, we will consider principal $G$ bundles for an arbitrary complex Lie group $G$.
We give explicit examples of moduli spaces of (boundary) framed holomorphic bundles and explicit formulae for the homeomorphisms provided by the general results.
Soient $X$ une variété complexe compacte connexe et $S\subset X$ une hypersurface réelle séparante ; $X$ se decompose donc comme la réunion de deux variétés complexes compactes à bord $\bar{X}^\pm $ telles que $\bar{X}^+\cap \bar{X}^-=S$. Soit $\mathcal{M}$ l’espace de modules des fibrés holomorphes sur $X$ décorés sur $S$, c.-à-d. des couples $(E,\theta )$, de type topologique fixé, où $E$ est un fibré holomorphe sur $X$ et $\theta $ est une trivialisation appartenant à une classe de régularité fixée $\mathcal{C}^{\kappa +1}$ (au sens de Hölder) de sa restriction sur $S$.
Notre problème : comparer, via les applications de restriction évidentes, l’espace de modules $\mathcal{M}$ avec les espaces de modules de Donaldson $\mathcal{M}^\pm $ des fibrés formellement holomorphes sur les variétés à bord $\bar{X}^\pm $, décorés sur le bord. Les restrictions $(E^\pm ,\theta ^\pm )$ sur $\bar{X}^\pm $ d’un fibré holomorphe $(E,\theta )$ sur $X$ décoré sur $S$ sont des fibrés formellement holomorphes décorés sur le bord, qui induisent via $\theta ^\pm $ le même opérateur de Cauchy–Riemann tangentiel sur le fibré trivial sur $S$. On obtient donc une application naturelle de $\mathcal{M}$ dans le produit fibré $\mathcal{M}^-\times _\mathcal{C}\mathcal{M}^+$ des espaces $\mathcal{M}^\pm $ au-dessus de l’espace $\mathcal{C}$ des opérateurs de Cauchy–Riemann sur le fibré trivial sur $S$.
Notre premier résultat : cette application est un homéomorphisme pour $\kappa \in (0,\infty ]\setminus \mathbb{N}$. Notons que, d’après des théorèmes dûs à S. Donaldson et Z. Xi, les espaces $\mathcal{M}^\pm $ s’identifient à des espaces de modules de connexions de Yang-Mills hermitiennes décorées sur le bord.
La démonstration de notre théorème d’isomorphisme s’appuie sur un principe de recollement des fibrés formellement holomorphes le long d’une hypersurface réelle. Le même principe de recollement peut être utilisé pour donner une interprétation géométrique, au sens de la géométrie complexe, de l’espace des solutions d’un problème de type Riemann–Hilbert dans un sens très général.
Nous généralisons ces résultats dans deux directions : premièrement, on va remplacer la decomposition $X=\bar{X}^-\cup \bar{X}^+$ associée à une hypersurface séparante par la variété à bord $\widehat{X}_S$ obtenue en découpant $X$ le long d’une hypersurface orientée arbitraire (pas nécessairement séparante). Deuxièmement, au lieu de se limiter aux fibrés vectoriels, nous allons considerer des fibrés principaux de groupe structural $G$, un groupe de Lie complexe arbitraire.
Nous donnons des exemples explicites d’espaces de modules de fibrés (formellement) holomorphes décorés sur une hypersurface réelle dans une variété fermée (ou sur le bord d’une variété compacte à bord) ainsi que des formules explicites pour les homéomorphismes fournis par les résultats généraux.
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Andrei Teleman 1
CC-BY 4.0
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Andrei Teleman. Holomorphic bundles framed along a real hypersurface and the Riemann–Hilbert problem. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 34 (2025) no. 3, pp. 581-656. doi: 10.5802/afst.1820
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