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no. 4
$k$-différentielles à singularités prescrites
[$k$-differentials with prescribed singularities]
Quentin Gendron1; Guillaume Tahar2
1 Instituto de Matemáticas de la UNAM Ciudad Universitaria, CDMX, 04510, México
2 Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications, Huairou District, Beijing, China
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 34 (2025) no. 4, pp. 901-1006

Nous étudions les invariants locaux qu’une $k$-différentielle méromorphe sur une surface de Riemann de genre $g \ge 0$ peut posséder pour $k \ge 3$. Ces invariants locaux sont les ordres des zéros et des pôles, ainsi que les $k$-résidus aux pôles. Nous montrons que pour une distribution donnée d’ordres de zéros, il existe, à quelques exceptions près, une $k$-différentielle primitive holomorphe ayant des zéros de ces ordres. Dans le cas méromorphe, en genre $g \ge 1$, chaque $k$-uplet attendu apparaît sous la forme d’une configuration de $k$-résidus. En revanche, dans certaines strates en genre zéro, un nombre fini de $k$-uplets (à homothétie près) ne sont pas des configurations de $k$-résidus d’une $k$-différentielle.

We study the local invariants that a meromorphic $k$-differential on a Riemann surface of genus $g \ge 0$ can have for $k \ge 3$. These local invariants include the orders of zeros and poles, as well as the $k$-residues at the poles. We show that for a given pattern of orders of zeros, there exists, with a few exceptions, a primitive holomorphic $k$-differential having zeros of these orders. In the meromorphic case, for genus $g \ge 1$, every expected tuple appears as a configuration of $k$-residues. On the other hand, for certain strata in genus zero, finitely many tuples (up to simultaneous scaling) do not occur as configurations of $k$-residues for a $k$-differential.

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Accepted:
Published online:
DOI: 10.5802/afst.1826
Mots-clés : $k$-différentielles, surfaces plates, strates, résidu
Keywords: $k$-differential, Flat surface, Strata, Residue

Quentin Gendron 1; Guillaume Tahar 2

1 Instituto de Matemáticas de la UNAM Ciudad Universitaria, CDMX, 04510, México
2 Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications, Huairou District, Beijing, China
License: CC-BY 4.0
Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights 
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     author = {Quentin Gendron and Guillaume Tahar},
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TY  - JOUR
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AU  - Guillaume Tahar
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JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2025
SP  - 901
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Quentin Gendron; Guillaume Tahar. $k$-différentielles à singularités prescrites. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 34 (2025) no. 4, pp. 901-1006. doi: 10.5802/afst.1826

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