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Extension of the Two-Variable Pierce-Birkhoff conjecture to generalized polynomials
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. S1, pp. 37-56.

En 1984, L. Mahé, et indépendammant G. Efroymson, ont prouvé le cas où n2 de la conjecture de Pierce-Birkhoff (1956) : une fonction h: n continue polynomiale par morceaux peut s’écrire comme sup i inf j f ij , pour une collection finie de polynômes f ij [x 1 ,...,x n ]. (Un exemple simple est h(x 1 )=|x 1 |=sup{x 1 ,-x 1 }.) La conjecture reste ouverte pour n3. Dans cet article, nous prouvons (encore pour n2) un résultat analogue pour « polynômes généralisés », où les exposants peuvent être des nombres réels arbitraires, et non pas seulement des nombres naturels ; dans cette version, nous limitons le domaine à l’orthant positif, où chaque x i >0.

Let h: n be a continuous, piecewise-polynomial function. The Pierce-Birkhoff conjecture (1956) is that any such h is representable in the form sup i inf j f ij , for some finite collection of polynomials f ij [x 1 ,...,x n ]. (A simple example is h(x 1 )=|x 1 |=sup{x 1 ,-x 1 }.) In 1984, L. Mahé and, independently, G. Efroymson, proved this for n2; it remains open for n3. In this paper we prove an analogous result for “generalized polynomials” (also known as signomials), i.e., where the exponents are allowed to be arbitrary real numbers, and not just natural numbers; in this version, we restrict to the positive orthant, where each x i >0. As before, our methods work only for n2.

DOI : 10.5802/afst.1274
Charles N. Delzell 1

1 Department of Mathematics Louisiana State University Baton Rouge, Louisiana 70803 USA
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Charles N. Delzell. Extension of the Two-Variable Pierce-Birkhoff conjecture to generalized polynomials. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. S1, pp. 37-56. doi : 10.5802/afst.1274. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1274/

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