We will call a mixed metric any metric defined in a plane domain which changes its character – it is Remannian in one region and Lorentzian in the other. We investigate the existence of a normal form for our metric locally in a neighbourhood of a point belonging to the common boundary of these two regions. It is an analogue of the problem of existence of isothermal coordinates in the classical setting. We show that generically we have the unique conformal model . There are, however, some special points where the space of conformal models is of infinite dimension.
Par une métrique mixte on comprend une métrique définie dans un domaine du plan, changeant de caractère – sur une région elle est riemannienne, sur une autre lorentzienne. On se place dans un point appartenant à la frontière entre ces deux régions et on cherche une forme locale « la plus simple » de notre métrique – un problème analogue à l’existance des coordonnées isothermes dans le cas classique, riemannien ou lorentzien. On montre que génériquement on peut se ramener à un seul modèle conforme . Il existe tout de même des points spécifiques où l’espace des modèles conformes est de dimension infinie.
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TY - JOUR AU - Tomasz Miernowski TI - Formes normales d’une métrique mixte analytique réelle générique JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2007 SP - 923 EP - 946 VL - 16 IS - 4 PB - Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques PP - Toulouse UR - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1171/ DO - 10.5802/afst.1171 LA - fr ID - AFST_2007_6_16_4_923_0 ER -
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Tomasz Miernowski. Formes normales d’une métrique mixte analytique réelle générique. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 16 (2007) no. 4, pp. 923-946. doi : 10.5802/afst.1171. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1171/
[1] Ahlfors (L.), Bers (L.).— Riemann’s mapping theorem for variable metrics. Ann. of Math. (2), 72, p. 385-404 (1960). | Zbl
[2] Arnol’d (V.), Bers (L.).— Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires. « Mir », Moscow, 1984. Translated from the Russian by Djilali Embarek, Reprint of the 1980 edition. | Zbl
[3] Chern (S. S.), Hartman (P.), Wintner (A.).— On isothermic coordinates. Comment. Math. Helv., 28, p. 301-309 (1954). | MR | Zbl
[4] Dara (L.).— Singularités génériques des équations différentielles multiformes. Bol. Soc. Brasil. Mat., 6(2) p. 95-128 (1975). | MR | Zbl
[5] Davydov (A. A.).— The normal form of a differential equation, that is not solved with respect to the derivative, in the neighborhood of its singular point. Funktsional. Anal. i Prilozhen, 19(2) p. 1-10, 96 (1985). | MR | Zbl
[6] Gauss (C. F.).— Werke. Band IV. Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973. Reprint of the 1873 original. | MR | Zbl
[7] Kergosien (Y. L.), Thom (R.).— Sur les points paraboliques des surfaces. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 290(15) p. A705-A710 (1980). | MR | Zbl
[8] Korn (A.), Thom (R.).— Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen. Schwarz Abhandlungen, p. 215-229.
[9] Lichtenstein (L.).— Zur Theorie der konformen Abbildung. Konforme Abbildung nichtanalytisher, singularitätenfreier Klächenstücke auf ebene Gebiete.
[10] Thom (R.).— Sur les équations différentielles multiformes et leurs intégrales singulières. Bol. Soc. Brasil. Mat., 3(1) p. 1-11 (1972). | MR | Zbl
[11] Uribe-Vargas (R.).— New Projective invariant associated to the special parabolic points of surfaces and to swallowtails. Prepint of Banach Center, Warsaw.
[12] Uribe-Vargas (R.).— Surface evolution, implicit differentiel equations end pairs of legendrian fibrations. 2005. Preprint.
[13] Wintner (A.).— On the local role of the theory of the logarithmic potential in differential geometry. Amer. J. Math., 75, p. 679-690 (1953). | MR | Zbl
Cited by Sources: