Vers un théorème de Skorohod simultané

Henri Heinich

doi:10.5802/afst.1192

Henri Heinich ¹

¹ INSA de Rouen, LMI, place E. Blondel, 76131 Mont-Saint-Aignan Cedex, France.

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 17 (2008) no. 3, pp. 519-575.

Abstract
Abstract

We study the Skorohod’s Theorem for vector-measure with $ℝ^{d}$ values. Let $X (ℙ)$ be the measure push-forward of $ℙ$ by $X$ . For a class of vector-measure and possibly variables, we have : the sequence ${X_{n} (ℙ)}$ converges in distribution if and only if there is a sequence ${φ_{n}}$ such that $φ_{n} (ℙ) = X_{n} (ℙ)$ and $φ_{n} \to φ$ in measure, possibly a.s.

As application, if $| ℙ |$ is the variation of $ℙ,$ $(ℙ, ℚ)$ be a couple and a cost function $c$ , the Monge problem is the existence of a function $φ,$ such that $φ (ℙ) = ℚ$ and $E_{| ℙ |} [c (x, φ (x))] = inf \{E_{| (X, Y) (ℙ) |} [c], X (ℙ) = ℙ, Y (ℙ) = ℚ\} .$ With a quadratic cost, we show that this function exists.

Nous étudions un théorème de Skorohod pour des mesures vectorielles à valeurs $ℝ^{d}$ . En notant $X (ℙ)$ la mesure image de $ℙ$ par la variable aléatoire $X,$ nous donnons des classes de mesures $ℙ$ et éventuel-lement de variables telles que, si la suite ${X_{n} (ℙ)}$ converge étroitement, il existe une suite ${φ_{n}}, φ_{n} (ℙ) = X_{n} (ℙ)$ qui converge en mesure, éventuel-lement p.s.

Le problème de Monge est abordé comme application. Soit $| ℙ |$ la mesure variation de $ℙ$ , pour un couple $(ℙ, ℚ)$ et une fonction coût $c,$ le problème de Monge est l’existence d’une fonction $φ$ telle que $φ (ℙ) = ℚ$ et $E_{| ℙ |} [c (x, φ (x))]$ $= inf {E_{| (X, Y) (ℙ) |} [c], X (ℙ) = ℙ, Y (ℙ) = ℚ} .$ Pour un coût quadratique et certaines mesures vectorielles, nous montrons que cette fonction existe.

MR Zbl

DOI: 10.5802/afst.1192

Author's affiliations:

Henri Heinich ¹

¹ INSA de Rouen, LMI, place E. Blondel, 76131 Mont-Saint-Aignan Cedex, France.

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Henri Heinich. Vers un théorème de Skorohod simultané. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 17 (2008) no. 3, pp. 519-575. doi : 10.5802/afst.1192. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1192/

References
Cited by

[1] Arcudi (O.).— Convergence of conditional expectations given the radom variables of a Skorohod representation. Statistics & Probability Letters, 40, p. 1-8 (1998). | MR | Zbl

[2] Billingsley (P.).— Probability and Measure. Wiley, New York (1986). | MR | Zbl

[3] Birkhoff (G.).— Lattice theory. AMS Colloquim publ., 25 (1979). | MR | Zbl

[4] Blackwell (D.), Dubins (L.E.).— An extension of Skorohod’s almost sure representation theorem. Proc. Amer. Math. Soc., 89, p. 691-692 (1983). | Zbl

[5] Bourbaki (N.).— Éléments de Mathématiques. Livres V et VI. Hermann (1983).

[6] Ballve (M. E.), Jimenez Guerra (P.), Muñoz (N. J.).— The Mass-Transfert Vector Problem. Applied Mathematics Letters, 13, p. 37-44 (2000). | MR | Zbl

[7] Belili (N.), Heinich (H.).— Mass transport problem and derivation. Appl. Mathematicae. 23, 3, p. 299-314 (1999). | MR | Zbl

[8] Belili (N.), Heinich (H.).— Approximation of distributions. Statistics & Probability Letters, 76, p. 298-303 (2006). | MR | Zbl

[9] Brenier (Y.).— Décomposition polaire et réarrangement monotone des champs de vecteurs. C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 305, p. 329-343 (1987). | MR | Zbl

[10] Cuesta-Albertos (J. A.), Matrán (C.), Rachev (S.T.), Rüschendorf (L.).— Mass transportation problems in probability theory. Math. Scientist, 21, p. 34-72 (1996). | MR | Zbl

[11] Dellacherie (C.), Meyer (P.A).— Probabilités et potentiel. Herman, Paris (1983). | MR | Zbl

[12] Diestel (J.), Uhl (J. J.).— Vector measures. A. M. S. Surveys 15 (1977). | Zbl

[13] Dinculeanu (N.).— Vector measures. Pergamon Press (1967). | MR

[14] Dudley (R. M.).— Distances of probability-measures and random variables. Ann. Math. Stat., 39, p. 1563-1572 (1968). | MR | Zbl

[15] Gangbo (W.), McCann (R. J.).— The geometry of optimal transportation. Acta. Math., 177, p. 113-161 (1996). | MR | Zbl

[16] Heinich (H.), Lootgieter (J.-C.).— Convergence des fonctions monotones. C. R. Acad. Sci. Paris, Série 1, 322, 869-874 (1996). | MR | Zbl

[17] Heinich (H.).— The Monge Problem in Banach spaces. Journal of Theoretical Probability. 19, p. 509-534 (2006). | MR | Zbl

[18] Knott (M.), Smith (C. S.).— On a generalization of cyclic monotonicity and distances among random vectors. Linear Algebra Appl., 199, p. 367-371 (1994). | MR | Zbl

[19] Lehman (E. L.).— Testing Statistical Hypotheses. Wiley, New-York (1959). | Zbl

[20] Major (P.).— On the Invariance Principe for sums of I.I.D. random variables. Journal of Multivariate Analysis, 8, p. 487-517 (1978). | MR | Zbl

[21] Monge (G.).— Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais. Histoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris, avec les mémoires de Mathématiques et de Physique, p. 257-263 (1781).

[22] Rachev (S. T.), Rüschendorf (L.).— Mass transportation problems. Springer, New York (1998).

[23] Rockafellar (R. T.).— Convex Analysis. Princeton University Press (1972). | MR | Zbl

[24] Rüschendorf (L.).— Fréchet-bounds and their applications. Advances in Proba-bility Measures with given marginals. Eds G. Dall’Aglio, S. Kotz and G. Salinetti. Kluwer Acad. Publ. p. 151-188 (1991). | Zbl

[25] Skorohod( A.V.).— Limit theorems for stochastic processes. Theory Probab. Appl., 1, p. 261-290 (1956). | MR | Zbl

Cited by Sources: