A rigidity phenomenon for germs of actions of ${\bf R}^2$

Aubin Arroyo; Adolfo Guillot

doi:10.5802/afst.1256

A rigidity phenomenon for germs of actions of

R^{2}

Aubin Arroyo ¹; Adolfo Guillot ¹

¹ Instituto de Matemáticas, Unidad Cuernavaca Universidad Nacional Autónoma de México, A.P. 273-3 Admon. 3, Cuernavaca, Morelos, 62251 México

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 19 (2010) no. 3-4, pp. 539-565.

Abstract
Abstract

We study germs of Lie algebras generated by two commuting vector fields in manifolds that are maximal in the sense of Palais (those which do not present any evident obstruction to be the local model of an action of $R^{2}$ ). We study three particular pairs of homogeneous quadratic commuting vector fields (in $R^{2}$ , $R^{3}$ and $R^{4}$ ) and study the maximal Lie algebras generated by commuting vector fields whose 2-jets at the origin are the given homogeneous ones. In the first case we prove that the quadratic algebra is a smooth normal form. In the second and third ones, we prove that the orbit structure is, from a topological viewpoint, the one of the quadratic part.

On étudie les germes d’algèbres de Lie de champs de vecteurs engendrées par deux champs de vecteurs commutants sur une variété qui sont maximales au sens de Palais (qui ne présentent aucune obstruction évidente pour être le modèle local d’une action de $R^{2}$ ). On étudie trois couples particuliers de champs de vecteurs commutants quadratiques et homogènes (sur $R^{2}$ , $R^{3}$ et $R^{4}$ ) et on étudie les algèbres de Lie maximales qui sont engendrées par des champs commutants dont le deuxième jet à l’origine est donné par les champs homogènes. Dans le premier cas on prouve que l’algèbre quadratique est une forme normale lisse pour l’algèbre. Dans les deux derniers, on prouve que la structure des orbites est, du point de vue topologique, celle de la partie quadratique.

MR Zbl

DOI: 10.5802/afst.1256

Author's affiliations:

Aubin Arroyo ¹; Adolfo Guillot ¹

¹ Instituto de Matemáticas, Unidad Cuernavaca Universidad Nacional Autónoma de México, A.P. 273-3 Admon. 3, Cuernavaca, Morelos, 62251 México

@article{AFST_2010_6_19_3-4_539_0,
     author = {Aubin Arroyo and Adolfo Guillot},
     title = {A rigidity phenomenon for germs of actions of ${\bf R}^2$},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {539--565},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de Math\'ematiques},
     address = {Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 19},
     number = {3-4},
     year = {2010},
     doi = {10.5802/afst.1256},
     mrnumber = {2790808},
     zbl = {1214.22001},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1256/}
}

TY  - JOUR
AU  - Aubin Arroyo
AU  - Adolfo Guillot
TI  - A rigidity phenomenon for germs of actions of ${\bf R}^2$
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2010
SP  - 539
EP  - 565
VL  - 19
IS  - 3-4
PB  - Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques
PP  - Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1256/
DO  - 10.5802/afst.1256
LA  - en
ID  - AFST_2010_6_19_3-4_539_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Aubin Arroyo
%A Adolfo Guillot
%T A rigidity phenomenon for germs of actions of ${\bf R}^2$
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2010
%P 539-565
%V 19
%N 3-4
%I Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques
%C Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1256/
%R 10.5802/afst.1256
%G en
%F AFST_2010_6_19_3-4_539_0

Aubin Arroyo; Adolfo Guillot. A rigidity phenomenon for germs of actions of ${\bf R}^2$. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 19 (2010) no. 3-4, pp. 539-565. doi : 10.5802/afst.1256. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1256/

References
Cited by

[1] Dumortier (F.) and Roussarie (R.).— Smooth linearization of germs of $R^{2}$ -actions and holomorphic vector fields. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Vol. 30 no. 1, p. 31-64 (1980). | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[2] Ghys (E.) and Rebelo (J.-C.).— Singularités des flots holomorphes. II. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Vol. 47 no. 4, p. 1117-1174 (1997). | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[3] Guillot (A.).— Sur les exemples de Lins Neto de feuilletages algébriques. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Vol. 334 no. 9, p. 747-750 (2002). | MR | Zbl

[4] Palais (R. S.).— A global formulation of the Lie theory of transformation groups. Mem. Amer. Math. Soc., 22 (1957). | MR | Zbl

[5] Palis (J.) and de Melo (W.).— Introdução aos sistemas dinâmicos, volume 6 of Projeto Euclides. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro (1978). | Zbl

[6] Rebelo (J. C.).— Singularités des flots holomorphes. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Vol. 46 no. 2, p. 411-428 (1996). | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[7] Rebelo (J. C.).— Réalisation de germes de feuilletages holomorphes par des champs semi-complets en dimension 2. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), Vol. 9 no. 4, p. 735-763 (2000). | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[8] Reis (H.).— Equivalence and semi-completude of foliations. Nonlinear Anal., Vol. 64 no. 8, p. 1654-1665 (2006). | MR | Zbl

[9] Salmon (G.).— A treatise on the higher plane curves. Hodges and Smith, Dublin (1852).

[10] Spivak (M.).— A comprehensive introduction to differential geometry. Vol. IV. Publish or Perish Inc., Wilmington, Del., second edition (1979). | MR | Zbl

[11] Sternberg (S.).— Local contractions and a theorem of Poincaré. Amer. J. Math., Vol. 79: p. 809-824 (1957). | MR | Zbl

[12] Thurston (W. P.).— Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Princeton University Press, Princeton, NJ (1997). | MR | Zbl

Cited by Sources: