In algebraic geometry the class of constructible sets is closed under projection. Model theory expresses this fact by saying that algebraically closed fields eliminate quantifiers in the language of rings. Analogously, non-trivially valued algebraically closed fields eliminate quantifiers in the language of rings with an additional binary relation for . This implies that such a valued field is “-minimal”: a definable subset of is a finite Boolean combination of open and closed balls. This property can be considered in any ultrametric structure and the structures that enjoy it are the subject of this text. We study analogies and differences between -minimal and o-minimal structures, with a particular emphasis on fields. We prove a result of almost everywhere differentiability.
La classe des constructibles de la géométrie algébrique est close par projection. La théorie des modèles exprime ce fait en disant que les corps algébriquement clos éliminent les quantificateurs dans le langage des anneaux. De façon analogue, les corps algébriquement clos non trivialement valués éliminent les quantificateurs dans le langage des anneaux enrichi de la relation dite de divisibilité . Cela implique en particulier la « -minimalité » : une partie définissable d’un corps algébriquement clos valué est une combinaison booléenne finie de boules, ouvertes ou fermées. Cette propriété peut être considérée dans toute structure ultramétrique, et les structures qui en jouissent sont l’objet de ce texte. Nous étudions semblances et dissemblances entre structures -minimales et o-minimales. Nous nous concentrons plus particulièrement sur le cas des corps et prouvons un résultat de dérivabilité presque partout des fonctions définissables dans un corps -minimal.
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Françoise Delon. Corps C-minimaux, en l’honneur de François Lucas. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 21 (2012) no. 2, pp. 413-434. doi : 10.5802/afst.1339. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1339/
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