We describe how the resolution of a kernel-based interpolation problem can be associated with a spectral problem. An integral operator is defined from the embedding of the considered Hilbert subspace into an auxiliary Hilbert space of square-integrable functions. We finally obtain a spectral representation of the interpolating elements which allows their approximation by spectral truncation. As an illustration, we show how this approach can be used to enforce boundary conditions in kernel-based interpolation models and in what it offers an interesting alternative for dimension reduction.
Nous décrivons comment la résolution d’un problème d’interpolation à noyaux peut être associée à un problème spectral. Un opérateur intégral est défini à partir d’un plongement du sous-espace hilbertien considéré dans un espace de Hilbert auxiliaire composé de fonctions de carré intégrable. On obtient une représentation spectrale des éléments interpolants permettant leur approximation par troncature du spectre. À titre d’exemple, nous montrons comment cette approche peut être utilisée afin d’intégrer des informations de type conditions aux limites dans un modèle d’interpolation et en quoi elle offre une alternative intéressante pour la réduction de dimension.
@article{AFST_2012_6_21_3_439_0,
author = {Bertrand Gauthier and Xavier Bay},
title = {Spectral approach for kernel-based interpolation},
journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
pages = {439--479},
publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de Math\'ematiques},
address = {Toulouse},
volume = {Ser. 6, 21},
number = {3},
year = {2012},
doi = {10.5802/afst.1341},
mrnumber = {3076408},
zbl = {1269.47025},
language = {en},
url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1341/}
}
TY - JOUR AU - Bertrand Gauthier AU - Xavier Bay TI - Spectral approach for kernel-based interpolation JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2012 SP - 439 EP - 479 VL - 21 IS - 3 PB - Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques PP - Toulouse UR - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1341/ DO - 10.5802/afst.1341 LA - en ID - AFST_2012_6_21_3_439_0 ER -
%0 Journal Article %A Bertrand Gauthier %A Xavier Bay %T Spectral approach for kernel-based interpolation %J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques %D 2012 %P 439-479 %V 21 %N 3 %I Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques %C Toulouse %U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1341/ %R 10.5802/afst.1341 %G en %F AFST_2012_6_21_3_439_0
Bertrand Gauthier; Xavier Bay. Spectral approach for kernel-based interpolation. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 21 (2012) no. 3, pp. 439-479. doi : 10.5802/afst.1341. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1341/
[1] Aronszajn (N.).— Theory of reproducing kernels, Trans. Amer. Math. Soc., 63, p. 337-404 (1950). | MR | Zbl
[2] Atteia (M.).— Hilbertian kernels and spline functions. North-holland, (1992). | MR | Zbl
[3] Baxendale (P.).— Gaussian measures on function spaces, American Journal of Mathematics, 98(4), p. 891-952 (1976). | MR | Zbl
[4] Bourbaki (N.).— Eléments de mathematique: Chapitre 6, Intégration vectorielle, Hermann (1959). | Zbl
[5] Berlinet (A.) and Thomas-Agnan (C.).— Reproducing kernel Hilbert spaces in probability and statistics, Springer Netherlands (2004). | MR | Zbl
[6] Cucker (F.) and Smale (S.).— On the mathematical foundations of learning, Bulletin (new series) of the American Mathematical Society, 39(1), p. 1-49 (2002). | MR | Zbl
[7] Dudley (R. M.), Feldman (J.), and Le Cam (L.).— On Seminorms and Probabilities, and Abstract Wiener Spaces, Annals of Mathematics, 93(2), p. 390-408 (1971). | MR | Zbl
[8] Dudley (R. M.).— Sample functions of the Gaussian process, Springer (2010). | MR
[9] Fortet (R. M.).— Les opérateurs intégraux dont le noyau est une covariance, Trabajos de Estadç´tica y de Investigación Operativa, 36, p. 133-144 (1985). | Zbl
[10] Gauthier (B.).— Approche spectrale pour l’interpolation à noyaux et positivité conditionnelle, PhD thesis, Ecole des Mines de Saint-Etienne (2011).
[11] Gross (L.).— Abstract Wiener spaces, Proc. Fifth Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob., 2, p. 31-42 (1967). | MR | Zbl
[12] Niyogi (P.), Minh (H. Q.) and Yao (Y.).— Learning Theory, chapter Mercer’s Theorem, Feature Maps and Smoothing, pages 154-168. Springer Berlin/Heidelberg (2006). | MR | Zbl
[13] Janson (S.).— Gaussian Hilbert Spaces, Cambridge University Press (1997). | MR | Zbl
[14] Kuelbs (J.).— Expansions of vectors in a Banach space related to Gaussian measures, Proceedings of the American Mathematical Society, 27(2), p. 364-370 (1971). | MR | Zbl
[15] Nashed (M.Z.) and Wahba (G.).— Generalized inverses in reproducing kernel spaces: An approach to regularization of linear operator equations, SIAM J. Math. Anal, 5(6), p. 974-987 (1974). | MR | Zbl
[16] Parzen (E.).— Extraction and detection problems and reproducing kernel hilbert spaces, J. Soc. Ind. Appl. Math., Ser. A, Control, 1, p. 35-62 (1962). | MR | Zbl
[17] R Development Core Team, R: A Language and Environment for Statistical Computing, R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria (2008).
[18] Rajput (B.S.).— On Gaussian measures in certain locally convex spaces, Journal of Multivariate Analysis, 2(3), p. 282-306 (1972). | MR | Zbl
[19] W Rudin (W.).— Analyse fonctionnelle, Ediscience International (1995).
[20] Rasmussen (C. E.) and Williams (C. K. I.).— Gaussian Processes for Machine Learning, The MIT Press (2006). | MR | Zbl
[21] Schwartz (L.).— Sous-espaces hilbertiens d’espaces vectoriels topologiques et noyaux associés, J. Anal. Math., 13, p. 115-256 (1964). | MR | Zbl
[22] Schwartz (L.).— Analyse Hilbertienne, Hermann (1979). | MR | Zbl
[23] Stein (M.L.).— Interpolation of Spatial Data: some theory for kriging, Springer Verlag (1999). | MR | Zbl
[24] Talagrand (M.).— Mesures gaussiennes sur un espace localement convexe, Probability Theory and Related Fields, 64(2), p. 181-209 (1983). | MR | Zbl
[25] Tarieladze (V.) and Vakhania (N.).— Disintegration of Gaussian measures and average-case optimal algorithms, Journal of Complexity, 23(4-6), p. 851-866 (2007). | MR | Zbl
[26] Wahba (G.).— Spline Models for Observational Data, SIAM (1990). | MR | Zbl
[27] Walsh (J. B.).— A note on uniform convergence of stochastic processes, in Proc. Amer. Math. Soc, volume 18, p. 129-132 (1967). | MR | Zbl
Cited by Sources: