A compact manifold is called Bieberbach if it carries a flat Riemannian metric. Bieberbach manifolds are aspherical, therefore the supremum of their systolic ratio, over the set of Riemannian metrics, is finite by a fundamental result of M. Gromov. We study the optimal systolic ratio of compact -dimensional orientable Bieberbach manifolds which are not tori, and prove that it cannot be realized by a flat metric. We also highlight a metric that we construct on one type of such manifolds () which has interesting geometric properties: it is extremal in its conformal class and the systole is realized by “very many” geodesics.
Une variété compacte est appelée de Bieberbach si elle porte une métrique riemannienne plate. Les variétés de Bieberbach sont asphériques, par conséquent le supremum de leur quotient systolique, sur l’ensemble des métriques riemanniennes, est fini d’après un résultat fondamental de M. Gromov. On étudie le quotient systolique optimal des -variétés de Bieberbach compactes et orientables qui ne sont pas des tores, et on démontre qu’il n’est pas réalisé par une métrique plate. De plus, on met en évidence une métrique que l’on construit sur un type de telles variétés () qui a une géométrie intéressante : elle est extrêmale dans sa classe conforme et possède de « nombreuses » géodésiques systoliques.
@article{AFST_2013_6_22_3_623_0,
author = {Chady El Mir and Jacques Lafontaine},
title = {The systolic constant of orientable {Bieberbach} 3-manifolds},
journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
pages = {623--648},
publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de Math\'ematiques},
address = {Toulouse},
volume = {Ser. 6, 22},
number = {3},
year = {2013},
doi = {10.5802/afst.1384},
mrnumber = {3113028},
zbl = {1296.53084},
language = {en},
url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1384/}
}
TY - JOUR AU - Chady El Mir AU - Jacques Lafontaine TI - The systolic constant of orientable Bieberbach 3-manifolds JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2013 SP - 623 EP - 648 VL - 22 IS - 3 PB - Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques PP - Toulouse UR - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1384/ DO - 10.5802/afst.1384 LA - en ID - AFST_2013_6_22_3_623_0 ER -
%0 Journal Article %A Chady El Mir %A Jacques Lafontaine %T The systolic constant of orientable Bieberbach 3-manifolds %J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques %D 2013 %P 623-648 %V 22 %N 3 %I Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques %C Toulouse %U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1384/ %R 10.5802/afst.1384 %G en %F AFST_2013_6_22_3_623_0
Chady El Mir; Jacques Lafontaine. The systolic constant of orientable Bieberbach 3-manifolds. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 22 (2013) no. 3, pp. 623-648. doi : 10.5802/afst.1384. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1384/
[1] Babenko (I.).— Souplesse intersystolique forte des variétés fermées et des polyèdres, Ann. Inst. Fourier 52 no. 4, p. 1259-1284 (2002). | Numdam | MR | Zbl
[2] Bavard (C.).— Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein, Math. Ann. 274, p. 439-441 (1986) | MR | Zbl
[3] Bavard (C.).— Inégalités isosystoliques conformes pour la bouteille de Klein, Geom. Dedicata 27, p. 349-355 (1988). | MR | Zbl
[4] Bavard (C.).— Inégalités isosystoliques conformes, Comment. Math. Helv 67, p. 146-166 (1992). | MR | Zbl
[5] Bavard (C.).— Une remarque sur la géométrie systolique de la bouteille de Klein, Arch. Math. (Basel) 87 (2006), No 1, p. 72-74 (1993). | MR | Zbl
[6] Berger (M.).— Systoles et applications selon Gromov, Séminaire N. Bourbaki, exposé 771, Astérisque 216, p. 279-310 (1993). | Numdam | MR | Zbl
[7] Burago (D.), Burago (Y.D.), Ivanov (S.).— A course in metric geometry, Graduate studies in Mathematics (33), Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (2001). | MR | Zbl
[8] Calabi (E.).— Extremal isosystolic metrics for compact surfaces, Actes de la table ronde de géométrie différentielle, Semin. Congr 1, Soc.Math.France p. 146-166 (1996). 3). | MR | Zbl
[9] Charlap (L.S.).— Bieberbach Groups and Flat Manifolds, Springer Universitext, Berlin (1986). | MR | Zbl
[10] Cheeger (J.), Ebin (D.).— Comparison Theorems in Riemannian Geometry, North-Holland Publishing Co., Amsterdam (1975). | MR | Zbl
[11] Elmir (C.), Lafontaine (J.).— Sur la géométrie systolique des variétés de Bieberbach, Geom. Dedicata. 136, p. 95-110 (2008) | MR | Zbl
[12] Gallot (S.), Hulin (D.), Lafontaine (J.).— Riemannian Geometry, 3rd edition, Springer, Berlin Heidelberg (2004). | MR | Zbl
[13] Gromov (M.).— Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. 18, p. 1-147 (1983) | MR | Zbl
[14] Jenkins (J.A.).— On the existence of certain general extremal metrics, Ann. of Math. 66, p. 440-453 (1957). | MR | Zbl
[15] Katz (M.G.).— Systolic Geometry and Topology, Math. Surveys and Monographs 137, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (2007). | MR | Zbl
[16] Pu (P.M.).— Some inequalities in certain non-orientable riemannian manifolds. Pacific J. Math. 2, p. 55-71 (1952). | MR
[17] Thurston (W.P.).— Three-Dimensional Geometry and Topology, edited by S. Levy, Princeton University Press, Princeton (1997). | MR | Zbl
[18] Wolf (J.A.).— Spaces of constant curvature, Publish or Perish, Boston (1974). | MR | Zbl
Cited by Sources: