Systèmes de points dans les dg-catégories saturées

Bertrand Toën; Michel Vaquié

doi:10.5802/afst.1506

Bertrand Toën ¹; Michel Vaquié ²

¹ IMT UMR 5219, CNRS, Université Paul Sabatier, Toulouse - France
² MIT UMR 5219, CNRS, Université Paul Sabatier, Toulouse - France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 25 (2016) no. 2-3, pp. 583-618.

Abstract
Abstract

In this work we consider the problem of realizing geometrically triangulated categories (or rather triangulated dg-categories) as derived categories of algebraic varieties. For this, we introduce the notion of system of points in a given saturated dg-category $T$ . We show that such a system of points can be used to construct an algebraic space of finite type $M_{𝒫}$ , smooth and separated, as well as a dg-functor from $T$ to a twisted version of the derived dg-category of $M_{𝒫}$ . We show furthermore that this dg-functor is an equivalence if and only if $M_{𝒫}$ is proper. All along this work we also study t-structures on algebraic families of objects in $T$ which might be of independant interest.

Dans ce travail nous considérons le problème de réaliser géométriquement les catégories triangulées (plutôt les dg-catégories triangulées) comme des catégories dérivées de variétés algébriques. Pour cela, on introduit la notion de système de points dans une dg-catégorie saturée $T$ . Nous montrons que la donnée d’un tel système permet de construire un espace algébrique $M_{𝒫}$ , de type fini, lisse et séparé, ainsi qu’un dg-foncteur de $T$ vers une version tordue de la dg-catégorie dérivée de $M_{𝒫}$ . On montre de plus que ce dg-foncteur est une équivalence si et seulement si $M_{𝒫}$ est propre. Tout au long de ce travail nous étudions les t-structures sur les familles algébriques d’objets dans $T$ , ce qui possède possiblement un intérêt en soi indépendant du thème de ce travail.

Published online: 2016-07-11

Zbl

DOI: 10.5802/afst.1506

Author's affiliations:

Bertrand Toën ¹; Michel Vaquié ²

¹ IMT UMR 5219, CNRS, Université Paul Sabatier, Toulouse - France
² MIT UMR 5219, CNRS, Université Paul Sabatier, Toulouse - France

@article{AFST_2016_6_25_2-3_583_0,
     author = {Bertrand To\"en and Michel Vaqui\'e},
     title = {Syst\`emes de points dans les dg-cat\'egories satur\'ees},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {583--618},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {6e s{\'e}rie, 25},
     number = {2-3},
     year = {2016},
     doi = {10.5802/afst.1506},
     zbl = {1364.18007},
     language = {fr},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1506/}
}

TY  - JOUR
AU  - Bertrand Toën
AU  - Michel Vaquié
TI  - Systèmes de points dans les dg-catégories saturées
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2016
SP  - 583
EP  - 618
VL  - 25
IS  - 2-3
PB  - Université Paul Sabatier, Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1506/
DO  - 10.5802/afst.1506
LA  - fr
ID  - AFST_2016_6_25_2-3_583_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Bertrand Toën
%A Michel Vaquié
%T Systèmes de points dans les dg-catégories saturées
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2016
%P 583-618
%V 25
%N 2-3
%I Université Paul Sabatier, Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1506/
%R 10.5802/afst.1506
%G fr
%F AFST_2016_6_25_2-3_583_0

Bertrand Toën; Michel Vaquié. Systèmes de points dans les dg-catégories saturées. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 25 (2016) no. 2-3, pp. 583-618. doi : 10.5802/afst.1506. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1506/

References
Cited by

[1] Abouzaid (M.).— Family Floer cohomology and mirror symmetry. ICM lecture, Seoul (2014). | MR | Zbl

[2] Beilinson (A. A.) ; Bernstein (J.) ; Deligne (P.).— Faisceaux pervers. Analyse et topologie sur les espaces singuliers I (Luminy, 1981), p. 5-171, Astérisque, 100, Soc. Math. France, Paris (1982). | Numdam

[3] Bridgeland (T.).— Flops and derived categories. Invent. Math. 147, no. 3, p. 613-632 (2002). | DOI | MR | Zbl

[4] Bridgeland (T.) ; King (A.).— The McKay correspondence as an equivalence of derived categories. J. Amer. Math. Soc. 14, no. 3, p. 535-554 (2001). | DOI | MR | Zbl

[5] Grothendieck (A.).— Le groupe de Brauer. I. Algèbres d’Azumaya et interprétations diverses, 1968 Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas p. 46-66 North-Holland, Amsterdam-Masson, Paris. | Zbl

[6] Hovey (M.).— Model Categories. Mathematical Surveys and Monographs, vol 63, Amer. Math. Soc., Providence (1998).

[7] Keller (B.).— On differential graded categories. International Congress of Mathematicians. Vol. II, p. 151-190, Eur. Math. Soc., Zürich (2006). | DOI | Zbl

[8] Keller (B.) ; Vossieck, D..— Aisles in derived categories. Bull. Soc. Math. Belg. 40, p. 239-253 (1988). | MR | Zbl

[9] Lurie (J.).— The « DAG » series. Available at the author home page http ://www.math.harvard.edu/ lurie/

[10] Lurie (J.).— On the Classification of Topological Field Theories. Current Developments in Mathematics, vol. 2008, p. 129-280, Int. Press, Somerville (2009). | DOI | MR | Zbl

[11] Lurie (J.).— Moduli problems for ring spectra. Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II, p. 1099-1125, Hindustan Book Agency, New Delhi (2010). | DOI | Zbl

[12] Lurie (J.).— Higher Algebra. Available at the author home page http ://www.math.harvard.edu/ lurie/

[13] Orlov (D.).— Equivalences of derived categories and K3 surfaces. Journal of Mathematical Sciences. Vol. 84, no. 5 (1997). | DOI | MR | Zbl

[14] Pantev (T.) ; Toën (B.) ; Vaquié (M.) ; Vezzosi (G.).— Shifted symplectic structures. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 117, p. 271-328 (2013). | DOI

[15] Rouquier (R.).— Catégories dérivées et géométrie birationnelle (d’après Bondal, Orlov, Bridgeland, Kawamata et al.). Séminaire Bourbaki. Vol. 2004/2005. Astérisque No.307 , Exp. No. 946, viii, p. 283-307 (2006). | Numdam

[16] Tabuada (G.).— Une structure de catégorie de modèles de Quillen sur la catégorie des dg-catégories. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 340, no. 1, p. 15-19 (2005). | DOI | Zbl

[17] Tabuada (G.).— A guided tour through the garden of noncommutative motives. Topics in noncommutative geometry, p. 259-276, Clay Math. Proc., 16, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2012). | MR | Zbl

[18] Tabuada (G.).— Differential graded versus simplicial categories. Topology Appl. 157, no. 3, p. 563-593 (2010). | DOI | MR | Zbl

[19] Toën (B.).— Derived Algebraic Geometry. EMS Surv. Math. Sci. 1, no. 2, p. 153-245 (2014). | DOI | MR | Zbl

[20] Toën (B.).— The homotopy theory of $d g$ -categories and derived Morita theory. Invent. Math. 167, no. 3, p. 615-667 (2007). | DOI | MR | Zbl

[21] Toën (B.).— Lectures on $d g$ -categories. Topics in Algebraic and Topological *K*-theory. lectures Notes in mathematics, vol. 2008, Springer (2011). | DOI | Zbl

[22] Toën (B.).— Derived Azumaya algebras and generators for twisted derived categories. Invent. Math. 189, no. 3, p. 581-652 (2012). | DOI | MR | Zbl

[23] Toën (B.) ; Vaquié (M.).— Moduli of objects in dg-categories. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 40, no. 3, p. 387-444 (2007). | DOI | Numdam | MR | Zbl

[24] Toën (B.) ; Vaquié (M.) Algébrisation des variétés analytiques complexes et catégories dérivées. Math. Ann. 342, no. 4, p. 389-831 (2008). | DOI | Zbl

[25] Toën (B.) ; Vezzosi (G.).— Homotopical algebraic geometry. I. Topos theory. Adv. Math. 193, no. 2, p. 257-372 (2005). | DOI | MR | Zbl

[26] Toën (B.) ; Vezzosi (G.).— Homotopical algebraic geometry. II. Geometric stacks and applications. Mem. Amer. Math. Soc. 193, no. 902, x+224 pp. (2008).

Cited by Sources: