Wandering Fatou component for polynomials

Xavier Buff

doi:10.5802/afst.1575

Xavier Buff ¹

¹ Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques de Toulouse, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 27 (2018) no. 2, pp. 445-475.

Abstract
Abstract

The filled-in Julia set $𝒦_{f}$ of a polynomial $f : ℂ \to ℂ$ is the set of points with bounded orbit under iteration of $f$ . The No Wandering Theorem proved by Sullivan in the 1980’s asserts that every connected component of the interior of $𝒦_{f}$ is eventually periodic. Sullivan’s original proof uses Beltrami forms and the straightening of almost complex structures. We present a proof due to Adam Epstein based on a density theorem of Bers for quadratic differentials. This density theorem is proved by duality and requires solving the equation $\bar{\partial} ξ = μ$ when $μ \in L^{\infty}$ .

We show that this result does not hold for polynomials $F : ℂ^{2} \to ℂ^{2}$ . More precisely, we show that if

F (z, w) = (z + z^{2} + a z^{3} + \frac{π^{2}}{4} w, w - w^{2})

with $a < 1$ sufficiently close to $1$ , then $F$ admits a wandering Fatou component. The proof uses techniques of parabolic implosion for skew products. The approach was initially suggested by Misha Lyubich and Han Peters.

L’ensemble de Julia $𝒦_{f}$ d’un polynôme $f : ℂ \to ℂ$ est l’ensemble des points dont l’orbite sous itération de $f$ est bornée. Le théorème de non errance démontré par Sullivan dans les années 1980 affirme que chaque composante connexe de l’intérieur de $𝒦_{f}$ est prépériodique. La preuve originale de Sullivan repose sur les formes de Beltrami et le théorème d’intégrabilité des structures presque complexes en dimension 1. Nous présentons une preuve due à Adam Epstein qui repose sur un théorème de densité de Bers concernant les différentielles quadratiques. Ce théorème de densité se montre par dualité et nécessite la résolution de l’équation $\bar{\partial} ξ = μ$ pour $μ \in L^{\infty}$ .

Nous montrons ensuite que ce résultat ne se généralise pas aux applications $F : ℂ^{2} \to ℂ^{2}$ . Plus précisément, nous montrons que si

F (z, w) = (z + z^{2} + a z^{3} + \frac{π^{2}}{4} w, w - w^{2})

avec $a < 1$ suffisamment proche de $1$ , alors $F$ possède une composante de Fatou errante. La preuve repose sur des techniques d’implosion parabolique pour des produits fibrés. Cette approche a été initialement suggérée par Misha Lyubich et Han Peters.

Published online: 2018-06-17

MR

DOI: 10.5802/afst.1575

Author's affiliations:

Xavier Buff ¹

¹ Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques de Toulouse, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex, France

License:

CC-BY 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

@article{AFST_2018_6_27_2_445_0,
     author = {Xavier Buff},
     title = {Wandering {Fatou} component for polynomials},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {445--475},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 27},
     number = {2},
     year = {2018},
     doi = {10.5802/afst.1575},
     mrnumber = {3831030},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1575/}
}

TY  - JOUR
AU  - Xavier Buff
TI  - Wandering Fatou component for polynomials
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2018
SP  - 445
EP  - 475
VL  - 27
IS  - 2
PB  - Université Paul Sabatier, Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1575/
DO  - 10.5802/afst.1575
LA  - en
ID  - AFST_2018_6_27_2_445_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Xavier Buff
%T Wandering Fatou component for polynomials
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2018
%P 445-475
%V 27
%N 2
%I Université Paul Sabatier, Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1575/
%R 10.5802/afst.1575
%G en
%F AFST_2018_6_27_2_445_0

Xavier Buff. Wandering Fatou component for polynomials. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 27 (2018) no. 2, pp. 445-475. doi : 10.5802/afst.1575. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1575/

References
Cited by

[1] Matthieu Astorg; Xavier Buff; Romain Dujardin; Han Peters; Jasmin Raissy A two-dimensional polynomial mapping with a wandering Fatou component, Ann. Math., Volume 184 (2016) no. 1, pp. 263-313 | DOI | MR | Zbl

[2] Adrien Douady Does a Julia set depend continuously on the polynomial?, Complex dynamical systems (Cincinnati, OH, 1994) (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics), Volume 49, American Mathematical Society, 1994, pp. 91-138 | MR | Zbl

[3] John Milnor Dynamics in one complex variable. Introductory lectures, Vieweg, 1999, viii+257 pages | Zbl

[4] Mitsuhiro Shishikura Bifurcation of parabolic fixed points, The Mandelbrot set, theme and variations (London Mathematical Society Lecture Note Series), Volume 274, Cambridge University Press, 2000, pp. 325-363 | DOI | MR | Zbl

Cited by Sources: