Given a compact manifold with a non-empty boundary and equipped with a generic Morse function (that is, no critical point on the boundary and the restriction to the boundary is a Morse function), we already knew how to construct two Morse complexes, one yielding the absolute homology and the other the relative homology. In this note, we construct a short exact sequence from both of them and the Morse complex of the boundary. Moreover, we define a pairing of the relative Morse complex with the absolute Morse complex which induces the intersection product in homology, in the form due to S. Lefschetz. This is a very first step in an ambitious approach towards -structures built from similar data.
Considérons une variété compacte à bord non vide munie d’une fonction de Morse générique ; en particulier sans point critique sur le bord mais dont la restriction au bord est une fonction de Morse. Dans un article antérieur, avec cette donnée et des gradients bien choisis, nous avons construit deux complexes de Morse, l’un calculant l’homologie absolue de la variété et l’autre son homologie relative au bord.
Dans la présente note, nous construisons une suite exacte courte à partir de ces deux complexes et du complexe de Morse du bord. En outre, nous definissons une forme bilinéaire du complexe absolu avec le complexe relatif qui induit la forme d’intersection en homologie, dans sa forme due à S. Lefschetz. Il s’agit là d’une étape élémentaire dans une démarche plus ambitieuse vers les structures multiplicatives d’ordre supérieur (structures ) que l’on peut construire avec des données similaires.
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Keywords: Morse theory, pseudo-gradient, manifolds with boundary, Poincaré-Lefschetz duality
François Laudenbach 1
CC-BY 4.0
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François Laudenbach. The Poincaré-Lefschetz pairing viewed on Morse complexes. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 30 (2021) no. 4, pp. 801-812. doi : 10.5802/afst.1689. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1689/
[1] Morse complexes and multiplicative structures (https://arxiv.org/abs/1810.09105, 2018, to appear in Math. Z.)
[2] On the Thom-Smale complex, An extension of a theorem by Cheeger and Müller (Astérisque), Volume 205, Société Mathématique de France, 1992, pp. 219-233 | Numdam
[3] A Morse complex on manifolds with boundary, Geom. Dedicata, Volume 153 (2011) no. 1, pp. 47-57 | DOI | MR | Zbl
[4] Morse theory, Annals of Mathematics Studies, 51, Princeton University Press, 1963 | DOI
[5] The critical point theory under general boundary conditions, Ann. Math., Volume 35 (1934) no. 3, pp. 545-571 | DOI | MR | Zbl
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