Groupes fondamentaux des variétés de dimension $3$ et algèbres d’opérateurs

Pierre de la Harpe; Jean-Philippe Préaux

doi:10.5802/afst.1159

Groupes fondamentaux des variétés de dimension

3

et algèbres d’opérateurs

Pierre de la Harpe ¹; Jean-Philippe Préaux ²

¹ Section de Mathématiques, Université de Genève, C.P. 64, CH-1211 Genève 4
² Centre de recherche de l’Armée de l’air, Ecole de l’Air, F-13661 Salon de Provence air. Centre de mathématiques et d’informatique, Université de Provence, 39 rue F. Joliot-Curie, F-13453 Marseille cedex 13

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 16 (2007) no. 3, pp. 561-589.

Abstract
Abstract

We provide a geometric characterization of manifolds of dimension $3$ with fundamental groups of which all conjugacy classes except ${1}$ are infinite, namely of which the von Neumann algebras are factors of type $I I_{1}$ : they are essentially the $3$ -manifolds with infinite fundamental groups on which there does not exist any Seifert fibration.

Otherwise said and more precisely, let $M$ be a compact connected $3$ -manifold and let $Γ$ be its fundamental group, supposed to be infinite and with at least one finite conjugacy class besides ${1}$ . If $M$ is orientable, then $Γ$ is the fundamental group of a Seifert manifold; if $M$ is not orientable, then $Γ$ is the fundamental group of a Seifert manifold modulo $ℙ$ in the sense of Heil and Whitten [HeWh-94].

We make heavy use of results on $3$ -manifolds, as well classical results (as can be found in the books of Hempel, Jaco, and Shalen), as more recent ones (solution of the Seifert fibred space conjecture)

Nous proposons une caractérisation géométrique des variétés de dimension $3$ ayant des groupes fondamentaux dont toutes les classes de conjugaison autres que ${1}$ sont infinies, c’est-à-dire dont les algèbres de von Neumann sont des facteurs de type $I I_{1}$ : ce sont essentiellement les $3$ -variétés à groupes fondamentaux infinis qui n’admettent pas de fibration de Seifert. Autrement dit et plus précisément, soient $M$ une $3$ -variété connexe compacte et $Γ$ son groupe fondamental, qu’on suppose être infini et avec au moins une classe de conjugaison finie autre que ${1}$ . Si $M$ est orientable, alors $Γ$ est groupe fondamental d’une variété de Seifert ; si $M$ est non orientable, alors $Γ$ est groupe fondamental d’une variété de Seifert modulo $ℙ$ au sens de Heil et Whitten [HeWh-94].

Nous faisons un usage intensif de résultats concernant les $3$ -variétés, autant classiques (comme on les trouve dans les livres de Hempel, Jaco et Shalen) que plus récents (solution de la conjecture des fibrés de Seifert).

MR

DOI: 10.5802/afst.1159

Author's affiliations:

Pierre de la Harpe ¹; Jean-Philippe Préaux ²

¹ Section de Mathématiques, Université de Genève, C.P. 64, CH-1211 Genève 4
² Centre de recherche de l’Armée de l’air, Ecole de l’Air, F-13661 Salon de Provence air. Centre de mathématiques et d’informatique, Université de Provence, 39 rue F. Joliot-Curie, F-13453 Marseille cedex 13

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Pierre de la Harpe; Jean-Philippe Préaux. Groupes fondamentaux des variétés de dimension $3$ et algèbres d’opérateurs. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 16 (2007) no. 3, pp. 561-589. doi : 10.5802/afst.1159. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1159/

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