The classical Arzela-Ascoli theorem is a compactness result for families of functions depending on bounds on the derivatives of the functions, and is of invaluable use in many fields of mathematics. In this paper, inspired by a result of Corlette, we prove an analogous compactness result for families of immersed submanifolds which depends only on bounds on the derivatives of the second fundamental forms of these submanifolds. We then show how the result of Corlette may be obtained as an immediate corollary.
La version classique du théorème d’Arzela-Ascoli, qui est d’une très grande importance dans plusieurs domaines mathématiques, nous donne un résultat de compacité pour des familles de fonctions en termes de majorations des dérivées de ces fonctions. Dans cet article, inspiré par un résultat récent de Corlette, on montre un résultat de compacité analogue pour des familles de sous-variétés immergées ne dépendant que de majorations sur les dérivées des secondes formes fondamentales de ces sous-variétés. On montre ensuite comment obtenir le résultat de Corlette comme un corollaire immédiat.
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Graham Smith. An Arzela-Ascoli theorem for immersed submanifolds. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 16 (2007) no. 4, pp. 817-866. doi : 10.5802/afst.1168. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1168/
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[6] Smith (G.).— Thèse de doctorat, Paris (2004).
Cited by Sources: