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Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction q-dzeta
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 17 (2008) no. 1, pp. 23-36.

Pour q, |q|<1, on définit la q-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités ζ q (k)= n1 σ k-1 (n)q n = n1 n k-1 q n 1-q n .

Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de q. La première concerne l’indépendance linéaire sur (q) des fonctions ζ q (k), pour k1, et la seconde l’indépendance algébrique sur (q) des fonctions ζ q (2),ζ q (4),ζ q (6), et des fonctions ζ q (2k+1), k0. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde.

Dans cet article, nous considérons la fonction L(x,y)= n1 y n x n 1-x n , et, avec τ=yd dy, les fonctions τ j (L)(x,y)= n1 n j y n x n 1-x n . Pour des valeurs a k ,k=1,...,s, soumises à quelques conditions techniques, nous démontrons des résultats d’indépendance linéaire et algébrique pour les fonctions τ j (L)(x,a k ).

For q, |q|<1, one extends the Riemann Zeta function in the following way: ζ q (k)= n1 σ k-1 (n)q n = n1 n k-1 q n 1-q n .

In the paper [8], W. Zudilin has formulated two questions about these functions. The first one is about the linear independence over (q) of the functions ζ q (k), k1, and the second one about the algebraic independence over (q) of ζ q (2),ζ q (4),ζ q (6), and ζ q (2k+1), k0.

In the paper [5], Y. Pupyrev has positively answered the first question, and has given partial results for the second.

In this paper, we consider the function L(x,y)= n1 y n x n 1-x n , and, with τ=yd dy, the functions τ j (L)(x,y)= n1 n j y n x n 1-x n . For complex values a k ,k=1,...,s, satisfying some technical conditions, we show linear and algebraic independence results for the functions τ j (L)(x,a k ).

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DOI : https://doi.org/10.5802/afst.1173
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     author = {Jean-Paul B\'ezivin},
     title = {Ind\'ependance lin\'eaire et alg\'ebrique de fonctions li\'ees \`a la fonction $q$-dzeta},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {23--36},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
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Jean-Paul Bézivin. Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 17 (2008) no. 1, pp. 23-36. doi : 10.5802/afst.1173. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1173/

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