Inversion des matrices de Toeplitz dont le symbole admet un zéro d’ordre rationnel positif, valeur propre minimale

Philippe Rambour; Abdellatif Seghier

doi:10.5802/afst.1332

Philippe Rambour ¹; Abdellatif Seghier ¹

¹ Université de Paris Sud, Bâtiment 425 ; F-91405 Orsay Cedex

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 21 (2012) no. 1, pp. 173-211.

Abstract
Abstract

Three results are stated in this paper. The first one is devoted to the study of the orthogonal polynomial with respect of the weight $ϕ_{α} (θ) = {| 1 - e^{i θ} |}^{2 α} f_{1} (e^{i θ})$ , with $α > \frac{1}{2}$ and $α \in ℝ ∖ ℕ$ , and $f_{1}$ a regular function. We obtain an asymptotic expansion of the coefficients of these polynomials, and we deduce an asymptotic of the entries of ${(T_{N} (ϕ_{α}))}^{- 1}$ where $T_{N} (ϕ_{α})$ is the Toeplitz matrix with symbol $ϕ_{α}$ . Then we extend a result of A. Böttcher and H. Widom result related to the minimal eigenvalue of the Toeplitz matrix $T_{N} (ϕ_{α})$ . For $N$ goes to the infinity it is well known that this minimal eigenvalue admits as asymptotic $\frac{c_{α}}{N^{2 α}} f_{1} (1)$ . When $α \in ℕ$ the previous authors obtain an asymptotic of $c_{α}$ for $α$ going to the infinity, and they have the bounds of $c_{α}$ for the other cases. Here we obtain the same type of results but for $α \in] \frac{1}{2}, + \infty [∖ ℕ$ .

Cet article présente trois résultats distincts. Dans une première partie nous donnons l’asymptotique quand $N$ tend vers l’infini des coefficients des polynômes orthogonaux de degré $N$ associés au poids $ϕ_{α} (θ) = {| 1 - e^{i θ} |}^{2 α} f_{1} (e^{i θ})$ , où $f_{1}$ est une fonction strictement positive suffisamment régulière et $α > \frac{1}{2}, α \in ℝ ∖ ℕ$ . Nous en déduisons l’asymptotique des éléments de l’inverse de la matrice de Toeplitz $T_{N} (ϕ_{α})$ au moyen d’un noyau intégral $G_{α} .$ Nous prolongeons ensuite un résultat de A. Böttcher et H. Windom relatif à l’asymptotique de la valeur propre minimale des matrices de Toepliz de symbole $ϕ_{α}$ . On sait que dans ce cas la plus petite valeur propre de cette matrice admet une asymptotique, quand $N$ tend vers l’infini, de la forme $\frac{c_{α}}{N^{2 α}} f_{1} (1)$ . Pour $α \in ℕ^{*}$ A. Böttcher et H. Windom obtiennent une asymptotique de $c_{α}$ quand $α$ tend vers l’infini, et un encadrement de $c_{α}$ dans les autres cas. Nous obtenons ici le même type de résultat, mais pour $α \in] \frac{1}{2}, + \infty [∖ ℕ$ .

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DOI: 10.5802/afst.1332

Author's affiliations:

Philippe Rambour ¹; Abdellatif Seghier ¹

¹ Université de Paris Sud, Bâtiment 425 ; F-91405 Orsay Cedex

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Philippe Rambour; Abdellatif Seghier. Inversion des matrices de Toeplitz dont le symbole admet un zéro d’ordre rationnel positif, valeur propre minimale. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 21 (2012) no. 1, pp. 173-211. doi : 10.5802/afst.1332. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1332/

References
Cited by

[1] Böttcher (A.).— The constants in the asymptotic formulas by Rambour and Seghier for the inverse of Toeplitz matrices. Integr. equ. oper. theory, 99, p. 43-45 (2004). | MR | Zbl

[2] Böttcher (A.), Unterberger (J.), Grudsky (S.), Maksimenko (E. A.).— The first order asymptotics of the extreme eigenvectors of certain hermitian Toeplitz matrices. Integr. equ. oper. theory, 63, p. 165-180 (2009). | MR | Zbl

[3] Böttcher (A.), Silbermann (B.).— Analysis of Toeplitz operators. Springer Verlag (1990). | MR | Zbl

[4] Böttcher (A.), Silbermann (B.).— Introduction to large Toepltitz truncated matrices. Springer Verlag (1999).

[5] Böttcher (A.), Widom (H.).— From Toeplitz eigenvalues through Green’s kernels to higher-order Wirtinger-Sobolev inequalities. Oper. Th. Adv. Appl., 171, p. 73-87 (2006). | MR | Zbl

[6] Böttcher (A.), Widom (H.).— On the eigenvalues of certain canonical higher-order ordinary differential operators. J. Math. Anal. Appl., 322, p. 990-1000 (2006). | MR | Zbl

[7] Courant (R.), Friedrichs (K.), Lewy (H.).— Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Math. Ann., 100, p. 32-74 (1928). | MR

[8] Ehrhardt (T.) and Silbermann (B.).— Toeplitz determinants with one Fisher-Hartwig singularity. Journal of Functional Analysis, 148, p. 229-256 (1997). | MR | Zbl

[9] Fisher (M. E.), Hartwig (R. E.).— Determinants ; some applications, theorems, and conjectures. Adv. Chem. Phys., 15, p. 333-353 (1968).

[10] Gohberg (I.), Semencul (A. A.).— The inversion of finite Toeplitz matrices and their continual analogues. Matem. Issled., 7, p. 201-233 (1972). | MR | Zbl

[11] Grenander (U.), Szegö (G.).— Toeplitz forms and their applications. Chelsea, New York, 2nd ed. edition (1984). | MR | Zbl

[12] Kac (M.), Murdoch (W. L.), Szegö (G.).— On the eigenvalues of certain hermitian forms. J. rat. Mech. Analysis, 2, p. 767-800 (1953). | MR | Zbl

[13] Kateb (D.), Rambour (P.), Seghier (A.).— Asymptotic behavior of the predictor polynomial associated to regular symbols. Prépublications de l’Université Paris-Sud (2003).

[14] Landau (H.J.).— Maximum entropy and the moment problem. Bulletin (New Series) of the american mathematical society, 16(1), p. 47-77 (1987). | MR | Zbl

[15] Martinez-Finkelshtein (A.), McLaughlin (K.T.R), Saff (E.B.).— Asymptotics of orthogonal polynomials with respect to an analytic weight with algebraic singularities on the circle. Internat. Math. Research Notices (2006). | MR | Zbl

[16] Martinez-Finkelshtein (A.), McLaughlin (K. T. R), Saff (E. B.).— Szegö orthogonal polynomal with respect to an analytic weight : canonical representation and strong asymptotic. Constr. Approx., 24 (2006). | MR | Zbl

[17] Parter (S.).— Extreme eigenvalues of Toeplitz forms and applications to elliptic difference equations. Trans. Amer. Math. Soc., 99, p. 153-192 (1961). | MR | Zbl

[18] Parter (S.).— On the extreme eigenvalues of Toeplitz matrices. Trans. Amer. Math. Soc., 100, p. 263-270 (1961). | MR | Zbl

[19] Parter (S.).— On the extreme eigenvalues of truncated Toeplitz matrices. Bull. Amer. Math. Soc., 67, p. 191-196 (1961). | MR | Zbl

[20] Rambour (P.), Seghier (A.).— Formulas for the inverses of Toeplitz matrices with polynomially singular symbols. Integr. equ. oper. theory, 50, p. 83-114 (2004). | MR | Zbl

[21] Rambour (P.), Seghier (A.).— Théorèmes de trace de type Szegö dans le cas singulier. Bull. des Sci. Math., 129, p. 149-174 (2005). | MR | Zbl

[22] Rambour (P.), Seghier (A.).— Inverse asymptotique des matrices de Toeplitz de symbole ${(1 - \cos θ)}^{α} f_{1}, \frac{- 1}{2} < α < \frac{1}{2}$ , et noyaux intégraux. Bull. des Sci. Math., 134, p. 155-188 (2008). | MR | Zbl

[23] Rambour (P.), Seghier (A.).— Asymptotic inversion of toeplitz matrices with one singularity in the symbol. C. R. Acad. Sci. Paris, 347, ser. I, p. 489-494 (2009). | MR | Zbl

[24] Spitzer (F. L.), Stone (C. J.).— A class of Toeplitz forms and their applications to probability theory. Illinois J. Math., 4, p. 253-277 (1960). | MR | Zbl

[25] Szegö (G.).— A Toeplitz féle formákról. Mathematikai és természettudományi ertesitö, 35, p. 185-222 (1917).

[26] Widom (H.).— On the eigenvalues of certain hermitian operators. Trans. Amer. Math. Soc., 88, p. 491-522 (1958). | MR | Zbl

[27] Widom (H.).— Extreme eigenvalues of translation kernels. Trans. amer. Math. Soc., 100, p. 252-262 (1961). | MR | Zbl

[28] Widom (H.).— Extreme eigenvalues of N-dimensional convolution operators. Trans. Amer. Math. Soc., 106, p. 391-414 (1963). | MR | Zbl

[29] Zygmund (A.).— Trigonometric series, volume 1. Cambridge University Press (1968). | MR | Zbl

Cited by Sources: