Inversion des matrices de Toeplitz dont le symbole admet un zéro d’ordre rationnel positif, valeur propre minimale

Philippe Rambour; Abdellatif Seghier

doi:10.5802/afst.1332

Philippe Rambour ¹ ; Abdellatif Seghier ¹

¹ Université de Paris Sud, Bâtiment 425 ; F-91405 Orsay Cedex

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 21 (2012) no. 1, pp. 173-211.

Résumé
Abstract

Cet article présente trois résultats distincts. Dans une première partie nous donnons l’asymptotique quand $N$ tend vers l’infini des coefficients des polynômes orthogonaux de degré $N$ associés au poids $ϕ_{α} (θ) = {| 1 - e^{i θ} |}^{2 α} f_{1} (e^{i θ})$ , où $f_{1}$ est une fonction strictement positive suffisamment régulière et $α > \frac{1}{2}, α \in ℝ ∖ ℕ$ . Nous en déduisons l’asymptotique des éléments de l’inverse de la matrice de Toeplitz $T_{N} (ϕ_{α})$ au moyen d’un noyau intégral $G_{α} .$ Nous prolongeons ensuite un résultat de A. Böttcher et H. Windom relatif à l’asymptotique de la valeur propre minimale des matrices de Toepliz de symbole $ϕ_{α}$ . On sait que dans ce cas la plus petite valeur propre de cette matrice admet une asymptotique, quand $N$ tend vers l’infini, de la forme $\frac{c_{α}}{N^{2 α}} f_{1} (1)$ . Pour $α \in ℕ^{*}$ A. Böttcher et H. Windom obtiennent une asymptotique de $c_{α}$ quand $α$ tend vers l’infini, et un encadrement de $c_{α}$ dans les autres cas. Nous obtenons ici le même type de résultat, mais pour $α \in] \frac{1}{2}, + \infty [∖ ℕ$ .

Three results are stated in this paper. The first one is devoted to the study of the orthogonal polynomial with respect of the weight $ϕ_{α} (θ) = {| 1 - e^{i θ} |}^{2 α} f_{1} (e^{i θ})$ , with $α > \frac{1}{2}$ and $α \in ℝ ∖ ℕ$ , and $f_{1}$ a regular function. We obtain an asymptotic expansion of the coefficients of these polynomials, and we deduce an asymptotic of the entries of ${(T_{N} (ϕ_{α}))}^{- 1}$ where $T_{N} (ϕ_{α})$ is the Toeplitz matrix with symbol $ϕ_{α}$ . Then we extend a result of A. Böttcher and H. Widom result related to the minimal eigenvalue of the Toeplitz matrix $T_{N} (ϕ_{α})$ . For $N$ goes to the infinity it is well known that this minimal eigenvalue admits as asymptotic $\frac{c_{α}}{N^{2 α}} f_{1} (1)$ . When $α \in ℕ$ the previous authors obtain an asymptotic of $c_{α}$ for $α$ going to the infinity, and they have the bounds of $c_{α}$ for the other cases. Here we obtain the same type of results but for $α \in] \frac{1}{2}, + \infty [∖ ℕ$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/afst.1332

Affiliations des auteurs :

Philippe Rambour ¹ ; Abdellatif Seghier ¹

¹ Université de Paris Sud, Bâtiment 425 ; F-91405 Orsay Cedex

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Philippe Rambour; Abdellatif Seghier. Inversion des matrices de Toeplitz dont le symbole admet un zéro d’ordre rationnel positif, valeur propre minimale. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 21 (2012) no. 1, pp. 173-211. doi : 10.5802/afst.1332. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1332/

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