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Inversion des matrices de Toeplitz dont le symbole admet un zéro d’ordre rationnel positif, valeur propre minimale
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 21 (2012) no. 1, pp. 173-211.

Cet article présente trois résultats distincts. Dans une première partie nous donnons l’asymptotique quand N tend vers l’infini des coefficients des polynômes orthogonaux de degré N associés au poids ϕ α (θ)=|1-e iθ | 2α f 1 (e iθ ), où f 1 est une fonction strictement positive suffisamment régulière et α>1 2,α. Nous en déduisons l’asymptotique des éléments de l’inverse de la matrice de Toeplitz T N (ϕ α ) au moyen d’un noyau intégral G α . Nous prolongeons ensuite un résultat de A. Böttcher et H. Windom relatif à l’asymptotique de la valeur propre minimale des matrices de Toepliz de symbole ϕ α . On sait que dans ce cas la plus petite valeur propre de cette matrice admet une asymptotique, quand N tend vers l’infini, de la forme c α N 2α f 1 (1). Pour α * A. Böttcher et H. Windom obtiennent une asymptotique de c α quand α tend vers l’infini, et un encadrement de c α dans les autres cas. Nous obtenons ici le même type de résultat, mais pour α]1 2,+[.

Three results are stated in this paper. The first one is devoted to the study of the orthogonal polynomial with respect of the weight ϕ α (θ)=|1-e iθ | 2α f 1 (e iθ ), with α>1 2 and α, and f 1 a regular function. We obtain an asymptotic expansion of the coefficients of these polynomials, and we deduce an asymptotic of the entries of T N (ϕ α ) -1 where T N (ϕ α ) is the Toeplitz matrix with symbol ϕ α . Then we extend a result of A. Böttcher and H. Widom result related to the minimal eigenvalue of the Toeplitz matrix T N (ϕ α ). For N goes to the infinity it is well known that this minimal eigenvalue admits as asymptotic c α N 2α f 1 (1). When α the previous authors obtain an asymptotic of c α for α going to the infinity, and they have the bounds of c α for the other cases. Here we obtain the same type of results but for α]1 2,+[.

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DOI : https://doi.org/10.5802/afst.1332
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     author = {Philippe Rambour and Abdellatif Seghier},
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     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
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Philippe Rambour; Abdellatif Seghier. Inversion des matrices de Toeplitz dont le symbole admet un zéro d’ordre rationnel positif, valeur propre minimale. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 21 (2012) no. 1, pp. 173-211. doi : 10.5802/afst.1332. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1332/

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