On the Configuration Spaces of Grassmannian Manifolds

Sandro Manfredini; Simona Settepanella

doi:10.5802/afst.1410

Sandro Manfredini; Simona Settepanella

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 23 (2014) no. 2, pp. 353-359.

Abstract
Abstract

Let $ℱ_{h}^{i} (k, n)$ be the $i$ -th ordered configuration space of all distinct points $H_{1}, ..., H_{h}$ in the Grassmannian $G r (k, n)$ of $k$ -dimensional subspaces of $ℂ^{n}$ , whose sum is a subspace of dimension $i$ . We prove that $ℱ_{h}^{i} (k, n)$ is (when non empty) a complex submanifold of $G r {(k, n)}^{h}$ of dimension $i (n - i) + h k (i - k)$ and its fundamental group is trivial if $i = m i n (n, h k)$ , $h k \neq n$ and $n > 2$ and equal to the braid group of the sphere $ℂ$ $P^{1}$ if $n = 2$ . Eventually we compute the fundamental group in the special case of hyperplane arrangements, i.e. $k = n - 1$ .

Soit $ℱ_{h}^{i} (k, n)$ le $i$ -ème espace de configuration ordonnée de tous les points distincts $H_{1}, ..., H_{h}$ dans la Grassmannienne $G r (k, n)$ de sous-espaces de dimension $k$ de $ℂ^{n}$ , dont la somme est un sous-espace de dimension $i$ . Nous prouvons que $ℱ_{h}^{i} (k, n)$ est (si non vide) une sous-variété complexe de $G r {(k, n)}^{h}$ de dimension $i (n - i) + h k (i - k)$ et que son groupe fondamental est trivial si $i = m i n (n, h k)$ , $h k \neq n$ et $n > 2$ et égal au groupe de tresses de la sphère $ℂ$ $P^{1}$ si $n = 2$ . Finalement, nous calculons le groupe fondamental dans le cas particulier des arrangements d’hyperplans, c’est-à-dire $k = n - 1$ .

MR Zbl

DOI: 10.5802/afst.1410

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Sandro Manfredini; Simona Settepanella. On the Configuration Spaces of Grassmannian Manifolds. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 23 (2014) no. 2, pp. 353-359. doi : 10.5802/afst.1410. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1410/

References
Cited by

[1] Berceanu (B.), Parveen (S.).— Braid groups in complex projective spaces, Adv. Geom. 12, p. 269-286 (2012). | Zbl

[2] Birman (J. S.).— Braids, Links, and Mapping Class Groups, Annals of Mathematics 82, Princeton University Press (1974). | MR | Zbl

[3] Fadell (E.R.).— Homotopy groups of configuration spaces and the string problem of Dirac, Duke Math. J. 29, p. 231-242 (1962). | MR | Zbl

[4] Fadell (E.R), Husseini (S.Y.).— Geometry and Topology of Configuration Spaces, Springer Monographs in Mathematics (2001), Springer-Verlarg Berlin. | MR | Zbl

[5] Fadell (E.R.), Neuwirth (L.).— Configuration spaces, Math. Scand. 10, p. 111-118 (1962). | MR | Zbl

[6] Manfredini (S.), Parveen (S.), Settepanella (S.).— Braid groups in complex spaces, arXiv: 1209.2839 (2012).

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