We consider a short sequence of hermitian vector bundles on some arithmetic variety. Assuming that this sequence is exact on the generic fiber we prove that the alternated sum of the arithmetic Chern characters of these bundles is the sum of two terms, namely the secondary Bott Chern class of the sequence and its Chern character with support on the finite fibers.
Next, we compute these classes in the situation encountered by the second author when proving a “Kodaira vanishing theorem” for arithmetic surfaces.
Nous considérons une suite courte de fibrés vectoriels hermitiens sur une variété arithmétique. Quand cette suite est exacte sur la fibre générique nous montrons que la somme alternée des caractères de Chern arithmétiques de ces fibrés est la somme de deux termes : la classe secondaire de Bott-Chern de la suite et son caractère de Chern à support dans les fibres finies. Nous calculons ces deux termes dans la situation rencontrée par le second auteur dans sa preuve d’un ’théorème d’annulation de Kodaira’ pour les surfaces arithmétiques.
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TY - JOUR AU - H. Gillet AU - C. Soulé TI - On the arithmetic Chern character JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2014 SP - 611 EP - 619 VL - 23 IS - 3 PB - Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques PP - Toulouse UR - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1418/ DO - 10.5802/afst.1418 LA - en ID - AFST_2014_6_23_3_611_0 ER -
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H. Gillet; C. Soulé. On the arithmetic Chern character. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 23 (2014) no. 3, pp. 611-619. doi : 10.5802/afst.1418. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1418/
[1] Bott (R.), Chern (S.S.).— Hermitian vector bundles and the equidistribution of the zeroes of their holomorphic sections. Acta Math. 114, p. 71-112 (1965). | MR | Zbl
[2] Bismut (J.-M.), Gillet (H.), Soulé (C.).— Analytic torsion and holomorphic determinant bundles I, II, III. Comm. Math. Physics 115, p. 49-78, p. 79-126, p. 301-351 (1988). | MR | Zbl
[3] Fulton W..— Intersection Theory. Springer 1984. | MR | Zbl
[4] Gillet (H.), Soulé (C.).— Characteristic classes for algebraic vector bundles with hermitian metrics I, II. Annals of Math. 131, p. 163-203, p. 205-238 (1990). | MR | Zbl
[5] Gillet (H.), Soulé (C.).— An arithmetic Riemann-Roch theorem. Invent. Math. 110, p. 473-543 (1992). | MR | Zbl
[6] Gillet (H.), Soulé (C.).— Direct images in non-archimedean Arakelov theory. Annales de l’institut Fourier, 50, p. 363-399 (2000). | Numdam | MR | Zbl
[7] Soulé (C.).— A vanishing theorem on arithmetic surfaces. Invent. Math. 116, no. 1-3, p. 577-599 (1994). | MR | Zbl
Cited by Sources: