We consider a linear finite dimensional control system depending on unknown parameters. We aim to design controls, independent of the parameters, to control the system in some optimal sense. We discuss the notions of averaged control, according to which one aims to control only the average of the states with respect to the unknown parameters, and the notion of simultaneous control in which the goal is to control the system for all values of these parameters. We show how these notions are connected through a penalization process. Roughly, averaged control is a relaxed version of the simultaneous control property, in which the differences of the states with respect to the various parameters are left free, while simultaneous control can be achieved by reinforcing the averaged control property by penalizing these differences. We show however that these two notions require of different rank conditions on the matrices determining the dynamics and the control. When the stronger conditions for simultaneous control are fulfilled, one can obtain the later as a limit, through this penalization process, out of the averaged control property.
Nous considérons un système de contrôle linéaire de dimension finie dépendant de paramètres inconnus. L’objectif est de construire des contrôles indépendants des paramètres afin de contrôler le système en un sens optimal. Nous discutons la notion de contrôle moyenné, dont le but est de contrôler seulement la moyenne des états par rapport aux paramètres, ainsi que la notion de contrôle simultané, dont l’objectif est de contrôler pour chaque paramètre l’état du système associé à ce paramètre. Nous montrerons que ces deux notions peuvent être connectées par le biais d’un processus de pénalisation. Plus précisément, la propriété de contrôlabilité en moyenne est une relaxation de la propriété de contrôlabilité simultanée. Pour la notion de contrôlabilité en moyenne les écarts entre les états par rapport aux paramètres sont laissés libres tandis que ces derniers sont forcés pour la notions de contrôlabilité simultanée. Afin de relier le contrôle moyenné au contrôle simultané, ce seront ces écarts qui seront pénalisés. Cependant, ces deux notions de contrôle requièrent différentes conditions sur les rangs des matrices déterminant la dynamique du système et le contrôle. Lorsque la condition de rang pour le contrôle simultané est satisfaite, nous montrerons que le contrôle simultané peut être obtenu à partir du contrôle moyenné, comme limite de ce processus de pénalisation.
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Jérôme Lohéac; Enrique Zuazua. From averaged to simultaneous controllability. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 25 (2016) no. 4, pp. 785-828. doi : 10.5802/afst.1511. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1511/
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