Interpolation des opérateurs de Radon–Nikodym et des espaces $L_\Lambda ^p$, $\mathbf{h}_\Lambda ^p$

Mohammad Daher

doi:10.5802/afst.1524

Interpolation des opérateurs de Radon–Nikodym et des espaces

L_{Λ}^{p}

,

h_{Λ}^{p}

Mohammad Daher ¹

¹ 16 square Albert Schweitzer, 77350 Le Mée-sur-Seine, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 26 (2017) no. 1, pp. 1-22.

Résumé
Abstract

Soient $A_{0}$ , $A_{1}$ deux espaces de Banach et $i : A_{0} \to A_{1}$ une injection continue d’image dense. Soient $0 < α < β < 1$ et $p \in] 1, + \infty [$ ; l’injection $i$ induit une injection $A_{α, p} \to A_{β, p}$ entre les espaces d’interpolation réels [4]. Dans la première partie, on montre que si $i : A_{α, p} \to A_{β, p}$ est un opérateur de Radon–Nikodym, alors $A_{α, p}$ a la propriété de Radon–Nikodym. Le théorème 2.2 montre que ce résultat est faux pour l’interpolation complexe.

On montre ensuite qu’il existe deux espaces de Banach $B_{0}$ , $B_{1}$ et $i : B_{0} \to B_{1}$ une injection de Radon–Nikodym tels que pour tous $0 < α < β < 1$ , l’injection $i : B_{α} \to B_{β}$ ne soit pas un opérateur de Radon–Nikodym. On introduit l’espace d’interpolation $A_{θ}^{+}$ , $θ \in] 0, 1 [$ , et on montre que ${\bar{A}}^{θ}$ est un sous-espace isométrique de $A_{θ}^{+}$ .

Soit $(B_{0}, B_{1})$ un couple d’interpolation tel que $B_{0} \cap B_{1}$ est dense dans $B_{0}$ et $B_{1}$ . Dans la deuxième partie, on montre que $L^{p} (𝕋, {\bar{B}}^{θ})$ est un sous-espace isométrique de ${\bar{[L^{p} (𝕋, B_{0}), L^{p} (𝕋, B_{1})]}}^{θ}$ , pour tout $p \in [1, + \infty [$ . Pour $p = \infty$ , on montre que $L^{\infty} (𝕋, B^{θ})$ est un sous-espace isométrique de ${[L^{\infty} (𝕋, B_{0}), L^{\infty} (𝕋, B_{1})]}^{θ}$ . On retrouve notre résultat antérieur [10] concernant l’interpolation des espaces de Hardy vectoriels.

Let $A_{0}$ , $A_{1}$ be two Banach spaces, $i : A_{0} \to A_{1}$ a continuous injection with dense range and $0 < α < β < 1$ . In the first part of this work, we show that if $i : A_{α, p} \to A_{β, p}$ is a Radon–Nikodym operator, then $A_{α, p}$ has the Radon–Nikodym property. We show that this result is false for complex interpolation (Theorem 2.2). We also show that there are two Banach spaces $B_{0}, B_{1}$ and $i : B_{0} \to B_{1}$ a Radon–Nikodym injection such that for $0 < α < β < 1$ , $i : A_{α} \to A_{β}$ is not a Radon–Nikodym operator. We introduce the interpolation spaces $A_{θ}^{+}$ , $θ \in] 0, 1 [$ , and show that ${\bar{A}}^{θ}$ is an isometric subspace of $A_{θ}^{+}$ .

In the second part of the article, we consider a regular interpolation pair $(B_{0}, B_{1})$ and show that $L^{p} (𝕋, {\bar{B}}^{θ})$ is an isometric subspace of ${\bar{[L^{p} (𝕋, B_{0}), L^{p} (𝕋, B_{1})]}}^{θ}$ for every $p \in [1, + \infty [$ . Moreover, we show that the space $L^{\infty} (𝕋, B^{θ})$ is an isometric subspace of ${[L^{\infty} (𝕋, B_{0}), L^{\infty} (𝕋, B_{1})]}^{θ}$ . We retrieve our result from [10] concerning the interpolation of Hardy spaces of vector valued functions.

Reçu le : 2015-11-23
Accepté le : 2016-02-23
Publié le : 2017-02-06

DOI : 10.5802/afst.1524

Classification : 45B70, 46B22, 46B28
Mots clés : Interpolation des espaces $\mathbf{h}^p$ et $L^p$

Affiliations des auteurs :

Mohammad Daher ¹

¹ 16 square Albert Schweitzer, 77350 Le Mée-sur-Seine, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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