Dans son article classique sur le problème d’équivalence, Cartan donne une méthode pour trouver les invariants d’une structure différentielle. Sa méthode repose sur un procédé de prolongement des équations qui fixent cette structure. Il affirme sans démonstration qu’en prolongeant ces équations, on finit par obtenir un système involutif. Le but principal de cet article est de justifier cette affirmation, et plus précisément, de donner des bornes pour l’involutivité qui sont uniformes, i.e. indépendantes de la structure particulière considérée.
In his classical paper on the equivalence problem, Cartan gives a method to find the invariants of a differential structure. His method is based on a procedure of prolongation of the equations fixing this structure. He states without proof that, by prolongation, these equations become eventually involutive. The main purpose of this paper is to prove this statement, and, more precisely, to give bounds for the involutivity which are uniform, i.e. independent of the special structure in consideration.
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Bernard Malgrange 1
CC-BY 4.0
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Bernard Malgrange. Sur le problème d’équivalence de Cartan. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 26 (2017) no. 5, pp. 1087-1136. doi : 10.5802/afst.1561. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1561/
[1] Algèbre géométrique, Les Grands Classiques Gauthier-Villars, Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996, x+211 pages (translated from the 1957 English original by M. Lazard, edited and with a foreword by G. Julia)
[2] Degree bounds for Gröbner bases in algebras of solvable type, J. Pure Appl. Algebra, Volume 213 (2009) no. 8, pp. 1578-1605 | DOI
[3] What can be computed in algebraic geometry ?, Computational algebraic geometry and commutative algebra (Cortona, 1991) (Sympos. Math.), Volume 34, Cambridge University Press, 1993, pp. 1-48
[4] A criterion for detecting -regularity, Invent. Math., Volume 87 (1987) no. 1, pp. 1-11 | DOI
[5] Rings of differential operators, North-Holland Mathematical Library, 21, North-Holland Publishing Co., 1979, xvii+374 pages
[6] Computing representations for radicals of finitely generated differential ideals (1997) (Technical report IT 306, LIFL, Université de Lille)
[7] Éléments de mathématique, Masson, 1980, vii+216 pages (Algèbre. Chapitre 10. Algèbre homologique.)
[8] Exterior differential systems, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 18, Springer, 1991, viii+475 pages
[9] Les sous-groupes des groupes continus de transformations, Ann. de l’Éc. Norm., Volume 25 (1908), pp. 57-194
[10] Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques, Actualités Sci. Ind., 994, Hermann et Cie., 1945, 214 pages
[11] Calculs effectifs pour les idéaux d’opérateurs différentiels, Géométrie algébrique et applications, III (La Rábida, 1984) (Travaux en Cours), Volume 24, Hermann et Cie., 1987, pp. 1-19
[12] Explicit calculations in rings of differential operators, Éléments de la théorie des systèmes différentiels géométriques (Séminaires et Congrès), Volume 8, Société Mathématique de France, 2004, pp. 89-128
[13] Complexity of a standard basis of a -module, St. Petersbg. Math. J., Volume 20 (2009) no. 5, pp. 709-736 | DOI
[14] Construction de pré-schémas quotients (SGA 62-63, fasc. 2a, exposé 5, I.H.E.S.)
[15] Differential geometric methods interfacing control theory, Differential geometric control theory (Houghton, Mich., 1982) (Progr. Math.), Volume 27, Birkhäuser, 1983, pp. 117-180
[16] Some effectivity problems in polynomial ideal theory, EUROSAM 84 (Cambridge, 1984) (Lecture Notes in Comput. Sci.), Volume 174, Springer, 1984, pp. 159-171
[17] Integrability criteria for systems of nonlinear partial differential equations, J. Differ. Geom., Volume 1 (1967), pp. 269-307 | DOI
[18] A Singular introduction to commutative algebra, Springer, 2007, xx+689 pages With contributions by Olaf Bachmann, Christoph Lossen and Hans Schönemann, with 1 CD-ROM (Windows, Macintosh and UNIX)
[19] Complexity of solutions of linear systems in rings of differential operators, J. of Math. Sciences, Volume 70 (1994) no. 4, pp. 1873-1880 | DOI
[20] Techniques de construction et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki, Volume 6, Société Mathématique de France, 1995, pp. 249-276
[21] An algebraic model of transitive differential geometry, Bull. Am. Math. Soc., Volume 70 (1964), pp. 16-47 | DOI
[22] Zur Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale, Math. Ann., Volume 95 (1926) no. 1, pp. 736-788 | DOI
[23] Classification of second-order ordinary differential equations admitting Lie groups of fibre-preserving point symmetries, Proc. London Math. Soc., Volume 58 (1989) no. 2, pp. 387-416 | DOI
[24] The local equivalence problem for and the Painlevé transcendents, J. Differ. Geom., Volume 22 (1985) no. 2, pp. 139-150 | DOI
[25] Lectures on involutive systems of partial differential equations, Publicações da Sociedade de Matemática de São Paulo, 1967, 75 pages
[26] Algèbre linéaire sur , et élimination, Bull. Soc. Math. France, Volume 105 (1977) no. 2, pp. 165-190 | DOI
[27] Équations de Lie. I, J. Differ. Geom., Volume 6 (1972), pp. 503-522 | DOI
[28] Équations de Lie. II, J. Differ. Geom., Volume 7 (1972), pp. 117-141 | DOI
[29] Le groupoïde de Galois d’un feuilletage, Essays on geometry and related topics, Vol. 2 (Monogr. Enseign. Math.), Volume 38, Enseignement Math., 2001, pp. 465-501
[30] Cartan involutiveness = Mumford regularity, Commutative algebra (Grenoble/Lyon, 2001) (Contemporary Mathematics.), Volume 331, American Mathematical Society, 2003, pp. 193-205
[31] Systèmes différentiels involutifs, Panoramas et Synthèses, 19, Société Mathématique de France, 2005, vi+106 pages
[32] Pseudogroupes de Lie et théorie de Galois différentielle (2010) (https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00469778)
[33] Model theory : An introduction, Graduate Texts in Mathematics, 217, Springer, 2002, viii+342 pages | Zbl
[34] Sur le problème de l’équivalence des structures géométriques, Jap. J. Math., Volume 9 (1983) no. 2, pp. 293-372 | DOI
[35] Implantation et nouvelles applications de la méthode d’équivalence de Cartan, Université de Lille 1, LIFL (France) (2003) (Ph. D. Thesis)
[36] Equivalence, invariants, and symmetry, Cambridge University Press, 1995, xvi+525 pages
[37] Differential algebra, Colloquium Publications, 33, American Mathematical Society, 1950, viii+184 pages
[38] An elimination theory for differential algebra, Univ. California Publ. Math., Volume 3 (1956), pp. 31-65
[39] Espaces fibrés algébriques, Exposés de séminaires. 1950–1999 (Documents Mathématiques), Volume 1, Société Mathématique de France, 2001 Séminaire Chevalley, 2e année (1958), exp. 1
[40] The infinite groups of Lie and Cartan. I. The transitive groups, J. Anal. Math., Volume 15 (1965), pp. 1-114 | DOI
[41] The -Neumann problem, Acta Math., Volume 120 (1968), pp. 223-277 | DOI
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