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Hiroshi Umemura et les mathématiques françaises
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 29 (2020) no. 5, pp. 1007-1052.

Le but de ce texte est triple. D’abord historique  : je retracerai l’évolution de deux courants mathématiques nés en France à la fin du XIX-ème siècle (l’un avec P. Painlevé, l’autre avec E. Picard, E. Vessiot et J. Drach) et leur influence sur l’oeuve de Hiroshi Umemura. Je décrirai ensuite, en entrant un peu dans la technique, le groupe de Galois de dimension infinie d’Umemura, l’une de ses contributions majeures, et ses relations avec le groupoïde que Bernard Malgrange a introduit peu après. Je livrerai aussi tout au long de ce texte un certain nombre de souvenirs personnels (comme témoin et parfois acteur). On verra apparaître, en arrière plan, un courant d’idées philosophiques auxquelles Umemura était particulièrement sensible, la théorie de l’ambiguïté, dont la pierre angulaire est la « lettre testament » d’Évariste Galois.

This text pursues three aims. First, a historical one : I will trace the evolution of two mathematical currents started in France at the end of the 19th century (one with P. Painlevé, the other with E. Picard, E. Vessiot et J. Drach) and their influence on the work of Hiroshi Umemura. Then, going into some technical detail, I will describe Umemura’s Galois group of infinite dimension, one of his major contributions, and its relation with the groupoïd which Bernard Malgrange introduced shortly afterwards. Finally, I will give throughout the text a few personal memories (as a witness and sometimes actor). In the background, we will see emerging a current of philosophical ideas which Umemura was particularly sensitive to: the theory of ambiguity, the cornerstone of which is the « testament letter” of Evariste Galois.

Publié le :
DOI : https://doi.org/10.5802/afst.1655
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     author = {Jean-Pierre Ramis},
     title = {Hiroshi Umemura et les math\'ematiques fran\c{c}aises},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {1007--1052},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
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Jean-Pierre Ramis. Hiroshi Umemura et les mathématiques françaises. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 29 (2020) no. 5, pp. 1007-1052. doi : 10.5802/afst.1655. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1655/

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[10] Daniel Bertrand; Hiroshi Umemura On the definitions of the Painlevé equations, RIMS Kokyuroku, Volume 1296 (2002), pp. 29-34

[11] George D. Birkhoff The Generalized Riemann Problem for Linear Differential Equations and the Allied Problems for Linear Difference and q-Difference Equations, Proc. Am. Acad., Volume 49 (1913) no. 9, pp. 521-568 | Article | Zbl 44.0391.03

[12] George D. Birkhoff The principle of sufficient reason, Rice Inst. Pamphlet, Volume 28 (1941) no. 1, pp. 24-50 (reproduced in Collected Mathematical Papers, vol. 3, American Mathematical Society, 1950) | MR 5294 | Zbl 0063.00407

[13] Kingshook Biswas; Ricardo Perez-Marco Log-Riemann Surfaces (2015) (https://arxiv.org/abs/1512.03776v1) | Zbl 1318.30003

[14] Amaury Bittmann Doubly-resonant saddle-nodes in ( 3 ,0) and the fixed singularity at infinity in Painlevé equations : analytic classification, Ann. Inst. Fourier, Volume 68 (2018) no. 4, pp. 1715-1830 | Article | Numdam | MR 3887432 | Zbl 1406.34106

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[16] D. Burch; N. Jones; E. Muñoz-García; R. Pérez-Marco Transalgebraic numbers Preliminary unfinished version, UCLA (2002), unpublished. (Communication personnelle.)

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[18] Serge Cantat; Frank Loray Dynamics on Character Varieties and Malgrange irreducibility of Painlevé VI equation, Ann. Inst. Fourier, Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2927-2978 | Article | Numdam | Zbl 1204.34123

[19] Élie Cartan L’oeuvre scientifique de M. Ernest Vessiot, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 75 (1947), pp. 1-8 | MR 24393 | Zbl 0031.24206

[20] Pierre Cartier Notes sur l’histoire et la philosophie des mathématiques V : le problème de l’espace (https://www.academia.edu/534424)

[21] Pierre Cartier A mad day’s work : from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry, Bull. Am. Math. Soc., Volume 38 (2001) no. 4, pp. 389-408 | Article | Zbl 0985.01005

[22] Pierre Cartier Groupoïdes de Lie et leurs algébroïdes, Séminaire Bourbaki. Volume 2007/2008. Exposés 982–996 (Astérisque), Volume 326, Société Mathématique de France, 2008, p. 2007-2008 | Zbl 1211.53095

[23] Guy Casale Sur le groupoïde de Galois d’un feuilletage (2004) (Ph. D. Thesis)

[24] Guy Casale Enveloppe galoisienne d’une application rationnelle de 1 , Publ. Mat., Barc., Volume 50 (2006) no. 1, pp. 191-202 | Article | MR 2325017 | Zbl 1137.37022

[25] Guy Casale Le groupoide de Galois de P 1 et son irréductibilité, Comment. Math. Helv., Volume 83 (2008) no. 3, pp. 471-519 | Article | MR 2410777 | Zbl 1163.34060

[26] Guy Casale Morales-Ramis Theorems via Malgrange pseudogroup, Ann. Inst. Fourier, Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2593-2610 | Article | Numdam | MR 2649334 | Zbl 1232.12005

[27] Guy Casale Une preuve galoisienne de l’irréductibilité au sens de Nishioka-Umemura de la première équation de Painlevé, Équations différentielles et singularités. En l’honneur de J. M. Aroca (Astérisque), Volume 323, Société Mathématique de France, 2009, pp. 83-100 | Numdam | MR 2647966 | Zbl 1209.12002

[28] Guy Casale An introduction to Malgrange Pseudogroup, Théories de Galois et arithmétique des équations différentielles (Séminaires et Congrès), Volume 23, Société Mathématique de France, 2011 | MR 3076080 | Zbl 1356.34089

[29] Guy Casale; Damien Davy Specialisation of the Galois groupoid of a vector field (2004) (https://arxiv.org/abs/2004.09122)

[30] Guy Casale; Damien Davy Galois groupoid and confluence of difference equations (2006) (https://arxiv.org/abs/2006.02675v1)

[31] Guy Casale; James Freitag; Joel Nagloo Ax-Lindemann-Weierstrass with derivatives and the genus 0 Fuchsian groups, Ann. Math., Volume 192 (2020) no. 3, pp. 721-765 | Article | MR 4172620 | Zbl 07285353

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[35] Jean Chazy Sur les équations différentielles dont l’intégrale générale possède une coupure essentielle mobile, C. R. Math. Acad. Sci. Paris (1910), pp. 456-458 | Zbl 41.0359.02

[36] Alain Connes Exposé de clôture, Galois (www.alainconnes.org/docs/slidesgaloisihp1)

[37] Alain Connes Renormalisation et ambiguïté galoisienne, Analyse complexe, systèmes dynamiques, sommabilité des séries divergentes et théories galoisiennes. I. Volume en l’honneur de Jean-Pierre Ramis (Astérisque), Volume 296, Société Mathématique de France, 2004, pp. 113-143 | Numdam | Zbl 1072.81045

[38] Alain Connes; Matilde Marcolli Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives, Colloquium Publications, 55, American Mathematical Society, 2008 | MR 2371808 | Zbl 1209.58007

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[40] Damien Davy Spécialisation du pseudo-groupe de Malgrange et irréductibilité (2013) (Ph. D. Thesis)

[41] Pierre Deligne Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lecture Notes in Mathematics, 163, Springer, 1970 | Zbl 0244.14004

[42] Pierre Deligne; Bernard Malgrange; Jean-Pierre Ramis Singularités irrégulières, correspondance et documents, Documents Mathématiques, 5, Société Mathématique de France, 2007 | Zbl 1130.14001

[43] Lucia Di Vizio; Charlotte Hardouin Intrinsic approach to Galois theory of q-difference equations (2019) (to appear in Mem. Am. Math. Soc., https://arxiv.org/abs/1002.4839v5)

[44] Lucia Di Vizio; Jean-Pierre Ramis; Jacques Sauloy; Changgui Zhang Équations aux q-différences, Gaz. Math., Soc. Math. Fr., Volume 96 (2003), pp. 20-49

[45] Jules Drach Essai sur une théorie générale de l’intégration et sur la classification des transcendantes, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (1898), pp. 243-384 | Article | Zbl 1209.58007

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[47] Jules Drach Détermination des cas de réduction de l’équation différentielle d 2 y/dx 2 =[ϕ(x)+h]y, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 168 (1919), pp. 47-50

[48] Galois Évariste Lettre à Auguste Chevalier, 29 mai 1832, Revue encyclopédique, Volume 55, pp. 568-576 (Le manuscrit original de cette lettre est à la bibliothèque de l’Institut de France, Quai de Conti, Paris) | Zbl 1348.01003

[49] Dominique Foata Raymond Gérard (1932–2000), Gaz. Math., Soc. Math. Fr., Volume 84 (2000), pp. 1932-2000 | Zbl 1388.01022

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[51] Richard Fuchs Sur quelques équations différentielles linéaires du second ordre, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 141 (1906), pp. 55-558 | Zbl 36.0397.02

[52] Richard Fuchs Über lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegenen wesentlich singulären Stellen, Math. Ann., Volume 63 (1907), pp. 301-321 | Article | MR 1511408 | Zbl 38.0362.01

[53] René Garnier Sur les singularités irrégulières des équations différentielles linéaires, Journ. de Math., Volume 2 (1919), pp. 99-200 | Zbl 47.0940.02

[54] Raymond Gerard Geometric theory of differential equations in the complex domain, Complex Anal. Appl., int. Summer Course Trieste 1975, Vol. II, 1976, pp. 269-308

[55] Raymond Gérard; Antoinette Sec Feuilletages de Painlevé, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 100 (1972), pp. 47-72 | Article | Numdam | Zbl 0233.57013

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[57] Étienne Ghys Les systèmes dynamiques holomorphes, Dynamique et géométrie complexes (Panoramas et Synthèses), Volume 8, Société Mathématique de France, 1999, pp. 1-10 | MR 1760841

[58] Anne Granier A Galois D-groupoid for q-difference equations, Ann. Inst. Fourier, Volume 61 (2011) no. 4, pp. 1493-1516 | Article | Numdam | MR 2951501 | Zbl 1247.39008

[59] Jacques Hadamard L’oeuvre scientifique de Paul Painlevé, Revue de Metaphys. et de Morale, Volume 41 (1934) no. 3, pp. 289-325 | Zbl 60.0837.05

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[61] Florian Heiderich Galois theory of module fields (2010) (Ph. D. Thesis)

[62] Florian Heiderich Introduction to the Galois theory of Artinian simple module algebras, Geometric and differential Galois theories (Séminaires et Congrès), Volume 27, Société Mathématique de France, 2013, pp. 69-92 | MR 3203550

[63] Katsunori Iwasaki; Hironobu Kimura; Shun Shimomura; Masaaki Yoshida From Gauss to Painlevé, A Modern Theory of Special Functions, Aspects of Mathematics, E16, Vieweg & Sohn, 1991 | Zbl 0743.34014

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[66] Jean-Pierre Jouanolou Équations de Pfaff algébriques, Lecture Notes in Mathematics, 708, Springer, 1979 | Zbl 0477.58002

[67] Kenji Kajiwara; Masatoshi Noumi; Yasuhiko Yamada Geometric Aspects of Painlevé quations (2017) (https://arxiv.org/abs/1509.08186v8) | Zbl 1441.34095

[68] Nicholas M. Katz A conjecture in the arithmetic theory of differential equations, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 110 (1982), pp. 203-239 | Article | Numdam | MR 667751 | Zbl 0504.12022

[69] Martin Klimes The wild monodromy of the Painlevé V equation and its action on the wild character variety : an approach of confluence (2019) (https://arxiv.org/abs/1609.05185v3)

[70] Sophus Lie Influence de Galois sur le développement des mathématiques, Le centenaire de l’École normale (1795-1895), Éditions Rue d’Ulm, 1895, pp. 481-489

[71] Roger Liouville Sur les transcendantes uniformes, définies par des équations différentielles du second ordre, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 135 (1902), pp. 952-954 | Zbl 33.0346.03

[72] Oleg Lisovyy Équations de Painlevé et théorie des champs conformes, 2014 (Mémoire d’Habilitation, Physique mathématique, Université de Tours, https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01426173)

[73] Michèle Loday-Richaud Souvenirs strasbourgeois, Analyse complexe, systèmes dynamiques, sommabilité des séries divergentes et théories galoisiennes. I. Volume en l’honneur de Jean-Pierre Ramis (Astérisque), Volume 296, Société Mathématique de France, 2004, pp. 33-42 | Numdam | MR 2135683 | Zbl 1069.01503

[74] Bernard Malgrange Courriel à Casale, Guy du 4 septembre 2020

[75] Bernard Malgrange Remarques sur les points singuliers des équations différentielles, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 273 (1970), p. 1136-1137 | Zbl 0232.34012

[76] Bernard Malgrange Le groupoïde de Galois d’un feuilletage, Essays on geometry and related topics (Monographies de l’Enseignement Mathématique), Volume 2, L’Enseignement Mathématique, 2001, pp. 465-501 | Zbl 1033.32020

[77] Bernard Malgrange On nonlinear Galois differential theory, Chin. Ann. Math., Ser. B, Volume 23 (2002) no. 2, pp. 219-226 | Article

[78] Bernard Malgrange Déformations isomonodromiques, forme de Liouville, fonction τ, Ann. Inst. Fourier, Volume 54 (2004) no. 5, pp. 1371-1392 | Article | Zbl 1086.34071

[79] Bernard Malgrange Pseudogroupes de Lie et théorie de Galois différentielle (2010) (IHES/M/10/11, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00469778)

[80] Jean Martinet; Jean-Pierre Ramis Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 55 (1982), pp. 63-164 | Article | Numdam | Zbl 0546.58038

[81] Jean Martinet; Jean-Pierre Ramis Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 16 (1983), p. 571-62 | Article | Numdam | Zbl 0534.34011

[82] Akira Masuoka; Katsunori Saito; Hiroshi Umemura Toward quantization of Galois theory, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 29 (2020) no. 5, pp. 1319-1431

[83] Barry M. McCoy; Craig A. Tracy; Tai Tsun Wu Painlevé Equations of the Third Kind, J. Math. Phys., Volume 18 (1977), pp. 1058-1092 | Article | Zbl 0353.33008

[84] Juan J. Morales-Ruiz; Jean-Pierre Ramis; Carles Simó Integrability of Hamiltonian systems and differential Galois groups of higher variational equations, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 40 (2007) no. 6, pp. 845-884 | Article | Numdam | MR 2419851 | Zbl 1144.37023

[85] Shuji Morikawa On a general difference Galois theory. I, Ann. Inst. Fourier, Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2709-2732 | Article | Numdam | MR 2649331 | Zbl 1194.12005

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[87] Keiji Nishioka A note on the transcendency of Painlevé’s first transcendent, Nagoya Math. J., Volume 109 (1988), pp. 63-67 | Article | MR 931951 | Zbl 0613.34030

[88] Seiji Nishioka Decomposable extensions of difference fields, Funkc. Ekvacioj, Volume 53 (2010) no. 3, pp. 489-501 | Article | MR 2761093 | Zbl 1233.12008

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[93] Kazuo Okamoto The Hamiltonians associated to the Painlevé equations, The Painlevé property one century later (CRM Series in Mathematical Physics), Springer, 1999, pp. 735-787 | Article | Zbl 1017.37032

[94] Kazuo Okamoto; Yousuke Ohyama Mathematical works of Hiroshi Umemura, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 29 (2020) no. 5, pp. 1053-1062

[95] Øystein Ore Theory of Non-Commutative Polynomials, Ann. Math., Volume 34 (1933) no. 3, pp. 480-508 | MR 1503119 | Zbl 0007.15101

[96] Paul Painlevé Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles, professées à Stockholm (1895), Hermann, 1897 (Oeuvres I, pp. 199–807) | Zbl 28.0262.01

[97] Paul Painlevé Analyse des Travaux Scientifiques Jusqu’en 1900, Blanchard, 1900 (Oeuvres I, p. 75–196) | Zbl 0153.00101

[98] Paul Painlevé Mémoire sur les équations différentielles dont l’intégrale générale est uniforme, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 28 (1900), pp. 201-261 | Article | Zbl 31.0337.03

[99] Paul Painlevé Démonstration de l’irréductibilité absolue de l’équation y x x=6y 2 +x, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 135 (1902), pp. 641-647 | Zbl 33.0347.01

[100] Emmanuel Paul; Jean-Pierre Ramis Dynamics on Wild Character Varieties, SIGMA, Symmetry Integrability Geom. Methods Appl., Volume 11 (2015), 068, 21 pages | MR 3383320 | Zbl 1328.34092

[101] Émile Picard Sur les équations différentielles et les groupes algébriques de transformations, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 1 (1887), pp. 1-15 | Article | Numdam | MR 1508053 | Zbl 19.0308.01

[102] Marius van der Put; Michael F. Singer Galois Theory of Difference Equations, Lecture Notes in Mathematics, 1666, Springer, 1997 | MR 1480919 | Zbl 0930.12006

[103] Alfred Ramani; Basil Grammaticos; Jarmo Hietarinta Discrete versions of the Painlevé equations, Phys. Rev. Lett., Volume 67 (1991) no. 14, pp. 1829-1832 | Article

[104] Jean-Pierre Ramis Complete Integrability of Hamiltonian Systems and Differential Galois groups exposé (non rédigé) au Colloque Lie Groups, Geometric Structures and differential equations – One hundred years after Lie, Sophus –, organisé par Tohru Morimoto 1999 au RIMS Kyoto University et à la Nara Women’s University

[105] Jean-Pierre Ramis Dévissage Gevrey, Journees singulieres de Dijon, 12-16 juin 1978 (Astérisque), Volume 59-60, Société Mathématique de France, 1978, pp. 173-204 | Numdam | Zbl 0409.34018

[106] Jean-Pierre Ramis Filtration Gevrey sur le groupe de Picard-Vessiot d’une équation différentielle irrégulière, Singularités irrégulières, correspondance et documents (Documents Mathématiques), Volume 5, Société Mathématique de France, 2007, 068, pp. 129-153

[107] Jean-Pierre Ramis Singularités irrégulières : des estimations Gevrey aux théories de Galois, un itinéraire naturel, Singularités irrégulières, correspondance et documents (Documents Mathématiques), Volume 5, Société Mathématique de France, 2007

[108] Jean-Pierre Ramis Poincaré et les développements asymptotiques (Première partie), Gaz. Math., Soc. Math. Fr., Volume 133 (2012), pp. 33-72 | Zbl 1312.01020

[109] Katsunori Saito; Hiroshi Umemura Quantization of Galois theory. Examples and observations (2012) (https://arxiv.org/abs/1212.3392v1)

[110] Katsunori Saito; Hiroshi Umemura Can we quantize Galois theory ? (2013) (to appear in Proceedings of Various aspects of the Painlevé equations, https://arxiv.org/abs/1306.3660v1)

[111] Masa-Hiko Saito; Taro Takebe; Hitomi Terajima Okamoto-Painlevé pairs and Painlevé equations (2000) (https://arxiv.org/abs/math/0006026) | Zbl 1022.34079

[112] Hidetaka Sakai Rational surfaces associated with affine root systems and geometry of the Painlevé equations, Commun. Math. Phys., Volume 220 (2001) no. 1, pp. 165-229 | Article | MR 1882403 | Zbl 1010.34083

[113] Mikio Sato Soliton equations as dynamical systems on infinite-dimensional Grassmann manifolds, RIMS Kokyuroku, Volume 439 (1981), pp. 30-46 | Zbl 0507.58029

[114] Mikio Sato; Tetsuji Miwa; Michio Jimbo Holonomic Quantum Fields. I., Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 14 (1978), pp. 223-267 | Article | MR 499666 | Zbl 0383.35066

[115] Mikio Sato; Tetsuji Miwa; Michio Jimbo Holonomic Quantum Fields. II. The Riemann-Hilbert Problem, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 15 (1979), pp. 201-278 | Article | MR 533348 | Zbl 0433.35058

[116] Mikio Sato; Tetsuji Miwa; Michio Jimbo Aspects of holonomic quantum fields. Isomonodromic deformation and Ising model, Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory (Lecture Notes in Physics), Volume 126, Springer, 1980, pp. 42-491 | MR 579762 | Zbl 0451.34008

[117] Mikio Sato; Y. Sato Soliton equations as dynamical systems on infinite-dimensional Grassmann manifolds, Nonlinear partial differential equations in applied science (Tokyo, 1982) (North-Holland Mathematics Studies), Volume 81, North-Holland, 1983, pp. 25-271 | MR 730247 | Zbl 0528.58020

[118] Jacques Sauloy Systèmes aux q-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie, Ann. Inst. Fourier, Volume 50 (2000) no. 4, pp. 1021-1071 | Article | Numdam | MR 1799737 | Zbl 0957.05012

[119] Michael F. Singer Direct and Inverse Problems in Differential Galois Theory (Introduction to Selected works of Ellis Kolchin, American Mathematical Society, 1998)

[120] Michael F. Singer Introduction to the Galois Theory of Linear Differential Equations, Algebraic theory of differential equations (London Mathematical Society Lecture Note Series), Volume 357, London Mathematical Society, 2009, pp. 1-82 | MR 2484905 | Zbl 1176.12005

[121] Hiroshi Umemura Foundation of general differential Galois theory (Marseille, November 27, 2006, lecture slides.)

[122] Hiroshi Umemura Sato’s Soliton theory is abelian (Abstract of a lecture at the 4th Workshop on Hamiltonian Systems and Related Topics, Niigata University, October 14–15, 2010)

[123] Hiroshi Umemura Soliton theory is abelian (Lecture at ACA 2011, The 17th International Conferences on Applications of Computer Algebra, Houston, June 28, 2011. http://divizio.perso.math.cnrs.fr/UMEMURA/Umemura_Soliton_theory_is_abelian_2011.pdf)

[124] Hiroshi Umemura Birational automorphism groups and differential equations, Équations différentielles dans le champ complexe, Vol. II (Strasbourg, 1985) (Publ. Inst. Rech. Math. Av.), Volume 1985, Univ. Louis Pasteur, 1988, pp. 119-227 | Zbl 0714.12009

[125] Hiroshi Umemura On the irreducibility of the first differential equation of Painlevé, Algebraic geometry and commutative algebra. In honor of Masayoshi Nagata. Volume II, Konokuniya Company Ltd., 1988, pp. 771-789 | Article | Zbl 0704.12007

[126] Hiroshi Umemura Second proof of the irreducibility of the first differential equation of Painlevé, Nagoya Math. J., Volume 117 (1990), pp. 125-171 | Article | Zbl 0688.34006

[127] Hiroshi Umemura The Painlevé equation and classical functions, Sugaku, Volume 57 (1995) no. 4, pp. 341-359 English translation in Sugaku Expo. 11 (1998), no. 1, p. 77-100 | Zbl 1011.34075

[128] Hiroshi Umemura Differential Galois theory of infinite dimension, Nagoya Math. J., Volume 144 (1996), pp. 59-135 | Article | MR 1425592 | Zbl 0878.12002

[129] Hiroshi Umemura Galois theory of algebraic and differential equations, Nagoya Math. J., Volume 144 (1996), pp. 1-58 | Article | MR 1425591 | Zbl 0885.12004

[130] Hiroshi Umemura Lie-Drach-Vessiot theory, infinite-dimensional differential Galois theory, CR-geometry and overdetermined systems (Advanced Studies in Pure Mathematics), Volume 25, Kinokuniya Company, 1997, pp. 364-385 | Article | MR 1476252 | Zbl 0924.12004

[131] Hiroshi Umemura Monodromy preserving deformation and differential Galois group. I, Analyse complexe, systèmes dynamiques, sommabilité des séries divergentes et théories galoisiennes. I. Volume en l’honneur de Jean-Pierre Ramis (Astérisque), Volume 296, Société Mathématique de France, 2004, pp. 253-269 | Numdam | Zbl 1159.12313

[132] Hiroshi Umemura Galois theory and Painlevé equations, Asymptotic theories and Painlevé equations (Séminaires et Congrès), Volume 14, Société Mathématique de France, 2006, pp. 29-339 | MR 2353471 | Zbl 1156.34080

[133] Hiroshi Umemura Invitation to Galois theory, Differential equations and quantum groups (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics), Volume 9, European Mathematical Society, 2007, pp. 269-289 | MR 2322334 | Zbl 1356.12006

[134] Hiroshi Umemura Sur l’équivalence des théories de Galois différentielles générales, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 346 (2008) no. 21-22, pp. 1155-1158 | Article | MR 2464256 | Zbl 1204.12009

[135] Hiroshi Umemura On the definition of the Galois groupoid, Équations différentielles et singularités. En l’honneur de J. M. Aroca (Astérisque), Volume 323, Société Mathématique de France, 2009, pp. 441-452 | Numdam | MR 2647982 | Zbl 1205.12005

[136] Ernest Vessiot Sur la théorie de Galois et ses diverses généralisations, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 21 (1904), pp. 9-85 | Article | Numdam | MR 1509036 | Zbl 35.0351.03

[137] Ernest Vessiot Sur la réductibilité des équations aux dérivées partielles non linéaires du premier ordre à une fonction inconnue, Ann. de l’Éc. Norm. (3), Volume 32 (1915), pp. 137-160 | Numdam | MR 1509185 | Zbl 45.1408.01

[138] Ernest Vessiot Sur une théorie générale de la réductibilité des équations et systèmes d’équations finies ou différentielles, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 63 (1946), pp. 1-22 | Article | MR 20696 | Zbl 0061.16703

[139] Wolfgang Wasow Asymptotic Expansions for Ordinary Differential equations, Dover Publications, 1965 | Zbl 0133.35301

[140] Hermann Weyl Symmetry, Princeton University Press, 1952 | Zbl 0046.00406

[141] Hermann Weyl Mind and nature, Selected Writings on Philosophy, Mathematics and Physics, Princeton University Press, 2009 | Article | Zbl 1186.00017

[142] Tai Tsun Wu; Barry M. McCoy; Craig A. Tracy; Eytan Barouch Spin-spin correlation functions for the two-dimensional Ising model : Exact theory in the scaling region, Phys. Rev. B, Volume 13 (1976) no. 1, pp. 316-374 | Article