The divergence equation with $L^{\infty }$ source

Eduard Curcă

doi:10.5802/afst.1700

The divergence equation with

L^{\infty}

source

Eduard Curcă ¹

¹ Université de Lyon, CNRS UMR 5208, Université Lyon 1, Institut Camille Jordan, 43 blvd. du 11 novembre 1918, F-69622 Villeurbanne cedex, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 31 (2022) no. 2, pp. 491-499.

Abstract
Abstract

A well-known fact is that there exists $g \in L^{\infty} (𝕋^{2})$ with zero integral, such that the equation

div f = g (☆)

has no solution $f = (f_{1}, f_{2}) \in W^{1, \infty} (𝕋^{2})$ . This was proved by Preiss ([4]), using an involved geometric argument, and, independently, by McMullen ([2]), via Ornstein’s non-inequality. We improve this result: roughly speaking, we prove that, there exists $g \in L^{\infty}$ for which $(☆)$ has no solution such that $\partial_{2} f_{2} \in L^{\infty}$ and $f$ is “slightly better” than $L^{1}$ . Our proof relies on Riesz products in the spirit of the approach of Wojciechowski ([6]) for the study of $(☆)$ with source $g \in L^{1}$ . The proof we give is elementary, self-contained and completely avoids the use of Ornstein’s non-inequality.

Notre point de départ est le résultat suivant de non existence : il existe $g \in L^{\infty} (𝕋^{2})$ , d’integrale nulle et telle que l’équation

div f = g (☆)

n’ait pas de solution $f = (f_{1}, f_{2}) \in W^{1, \infty} (𝕋^{2})$ . Ce résultat a été obtenu indépendamment par Preiss ([4]), en utilisant un argument géométrique délicat, et par McMullen ([2]), via la non-inégalité d’Ornstein. Nous améliorons substantiellement ce résultat, en montrant qu’en général $(☆)$ n’a pas de solution satisfaisant $\partial_{2} f_{2} \in L^{\infty}$ , avec $f$ « un peu mieux » que $L^{1}$ . Notre démonstration est basée sur les produits Riesz dans l’esprit de l’approche de Wojciechowski ([6]) pour l’étude de $(☆)$ avec source $g \in L^{1}$ . La démonstration est élémentaire et évite completement l’utilisation de la non-inégalité d’Ornstein.

Received: 2020-02-10
Accepted: 2020-05-29
Published online: 2022-06-22

Zbl

DOI: 10.5802/afst.1700

Classification: 42B37, 42B05
Keywords: divergence equation, Riesz products, function spaces

Author's affiliations:

Eduard Curcă ¹

¹ Université de Lyon, CNRS UMR 5208, Université Lyon 1, Institut Camille Jordan, 43 blvd. du 11 novembre 1918, F-69622 Villeurbanne cedex, France

License:

CC-BY 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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References
Cited by

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