The divergence equation with $L^{\infty }$ source

Eduard Curcă

doi:10.5802/afst.1700

The divergence equation with

L^{\infty}

source

Eduard Curcă ¹

¹ Université de Lyon, CNRS UMR 5208, Université Lyon 1, Institut Camille Jordan, 43 blvd. du 11 novembre 1918, F-69622 Villeurbanne cedex, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 31 (2022) no. 2, pp. 491-499.

Résumé
Abstract

Notre point de départ est le résultat suivant de non existence : il existe $g \in L^{\infty} (𝕋^{2})$ , d’integrale nulle et telle que l’équation

div f = g (☆)

n’ait pas de solution $f = (f_{1}, f_{2}) \in W^{1, \infty} (𝕋^{2})$ . Ce résultat a été obtenu indépendamment par Preiss ([4]), en utilisant un argument géométrique délicat, et par McMullen ([2]), via la non-inégalité d’Ornstein. Nous améliorons substantiellement ce résultat, en montrant qu’en général $(☆)$ n’a pas de solution satisfaisant $\partial_{2} f_{2} \in L^{\infty}$ , avec $f$ « un peu mieux » que $L^{1}$ . Notre démonstration est basée sur les produits Riesz dans l’esprit de l’approche de Wojciechowski ([6]) pour l’étude de $(☆)$ avec source $g \in L^{1}$ . La démonstration est élémentaire et évite completement l’utilisation de la non-inégalité d’Ornstein.

A well-known fact is that there exists $g \in L^{\infty} (𝕋^{2})$ with zero integral, such that the equation

div f = g (☆)

has no solution $f = (f_{1}, f_{2}) \in W^{1, \infty} (𝕋^{2})$ . This was proved by Preiss ([4]), using an involved geometric argument, and, independently, by McMullen ([2]), via Ornstein’s non-inequality. We improve this result: roughly speaking, we prove that, there exists $g \in L^{\infty}$ for which $(☆)$ has no solution such that $\partial_{2} f_{2} \in L^{\infty}$ and $f$ is “slightly better” than $L^{1}$ . Our proof relies on Riesz products in the spirit of the approach of Wojciechowski ([6]) for the study of $(☆)$ with source $g \in L^{1}$ . The proof we give is elementary, self-contained and completely avoids the use of Ornstein’s non-inequality.

Reçu le : 2020-02-10
Accepté le : 2020-05-29
Publié le : 2022-06-22

Zbl

DOI : 10.5802/afst.1700

Classification : 42B37, 42B05
Mots clés : divergence equation, Riesz products, function spaces

Affiliations des auteurs :

Eduard Curcă ¹

¹ Université de Lyon, CNRS UMR 5208, Université Lyon 1, Institut Camille Jordan, 43 blvd. du 11 novembre 1918, F-69622 Villeurbanne cedex, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{AFST_2022_6_31_2_491_0,
     author = {Eduard Curc\u{a}},
     title = {The divergence equation with $L^{\infty }$ source},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {491--499},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 31},
     number = {2},
     year = {2022},
     doi = {10.5802/afst.1700},
     zbl = {07549946},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1700/}
}

TY  - JOUR
AU  - Eduard Curcă
TI  - The divergence equation with $L^{\infty }$ source
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2022
SP  - 491
EP  - 499
VL  - 31
IS  - 2
PB  - Université Paul Sabatier, Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1700/
DO  - 10.5802/afst.1700
LA  - en
ID  - AFST_2022_6_31_2_491_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Eduard Curcă
%T The divergence equation with $L^{\infty }$ source
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2022
%P 491-499
%V 31
%N 2
%I Université Paul Sabatier, Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1700/
%R 10.5802/afst.1700
%G en
%F AFST_2022_6_31_2_491_0

Eduard Curcă. The divergence equation with $L^{\infty }$ source. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 31 (2022) no. 2, pp. 491-499. doi : 10.5802/afst.1700. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1700/

Bibliographie
Cité par

[1] Krystian Kazaniecki; Michał Wojciechowski Ornstein’s non-inequalities: Riesz product approach (2014) (https://arxiv.org/abs/1406.7319)

[2] Curtis T. McMullen Lipschitz maps and nets in Euclidean space, Geom. Funct. Anal., Volume 8 (1998) no. 2, pp. 304-314 | DOI | MR | Zbl

[3] Donald Ornstein A non-inequality for differential operators in the $L_{1}$ norm, Arch. Ration. Mech. Anal., Volume 11 (1962), pp. 40-49 | DOI | MR | Zbl

[4] David Preiss Additional regularity for Lipschitz solutions of PDE, J. Reine Angew. Math., Volume 485 (1997), pp. 197-207 | MR | Zbl

[5] Walter Rudin Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987

[6] Michał Wojciechowski On the representation of functions as a sum of derivatives, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 328 (1999) no. 4, pp. 303-306 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :