Correspondance de Langlands et facteurs $\varepsilon $ des carrés extérieur et symétrique

Guy Henniart

doi:10.5802/afst.1748

Correspondance de Langlands et facteurs

ε

des carrés extérieur et symétrique
[Langlands correspondence and

ε

-factors for exterior and symmetric square]

Guy Henniart ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Université Paris-Sud CNRS, Université Paris-Saclay, 91405 Orsay, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 32 (2023) no. 4, pp. 639-653.

Abstract
Abstract

Let $p$ be a prime number and $F$ a finite extension of $ℚ_{p}$ . Let $n$ be a positive integer, $π$ smooth irreducible representation of ${GL}_{n} (F)$ , and $σ$ the Weil–Deligne representation associated to $π$ by the Langlands correspondence. Cogdell, Shahidi and Tsai have proved, for any non-trivial character $ψ$ of $F$ , the equalities

\begin{matrix} ε (π, Λ^{2}, s, ψ & = (Λ^{2} σ, s, ψ) \\ and ε (π, {Sym}^{2}, s, ψ) & = ε ({Sym}^{2} σ, s, ψ) . \end{matrix}

Here we give a very different proof of those equalities, using the techniques of a previous paper where we proved them up to a root of unity. The refinement is now possible due to the results of Harris, Lan, Taylor, Thorne, and also Scholze, on the Langlands correspondence for ${GL}_{n}$ over number fields. We also treat Asai $ε$ -factors, reproving an equality due to Shankman.

Soit $p$ un nombre premier et $F$ une extension finie de $ℚ_{p}$ . Soit $n$ un entier $\geq 1$ , $π$ une représentation lisse irréductible de ${GL}_{n} (F)$ , et $σ$ la représentation de groupe de Weil–Deligne de $F$ associée à $π$ par la correspondance de Langlands. Cogdell, Shahidi et Tsai ont prouvé les égalités

\begin{matrix} ε (π, Λ^{2}, s, ψ & = (Λ^{2} σ, s, ψ) \\ et ε (π, {Sym}^{2}, s, ψ) & = ε ({Sym}^{2} σ, s, ψ) . \end{matrix}

pour tout caractère non trivial $ψ$ de $F$ .

Nous donnons ici une preuve très différente de ces égalités, en reprenant les techniques d’un article précédent, qui les obtenait à une racine de l’unité près. Ce raffinement est permis par des résultats de Harris, Lan, Taylor, Thorne, et aussi Scholze, qui améliorent notre connaissance de la correspondance de Langlands pour ${GL}_{n}$ sur un corps de nombres. Nous traitons aussi le cas des facteurs $ε$ d’Asai, où nous prouvons par notre méthode l’égalité due à Shankman.

Received: 2021-05-27
Accepted: 2021-06-28
Published online: 2023-11-13

DOI: 10.5802/afst.1748

Mot clés : Corps $p$-adique, représentation lisse, correspondance de Langlands, facteurs $\varepsilon $
Keywords: $p$-adic field, smooth representation, Langlands correspondence, $\varepsilon $-factors

Author's affiliations:

Guy Henniart ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Université Paris-Sud CNRS, Université Paris-Saclay, 91405 Orsay, France

License:

CC-BY 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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Guy Henniart. Correspondance de Langlands et facteurs $\varepsilon $ des carrés extérieur et symétrique. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 32 (2023) no. 4, pp. 639-653. doi : 10.5802/afst.1748. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1748/

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