This paper studies properties of renormalization operators for potentials in symbolic dynamics. These operators first appeared in [1] and the link with substitutions was done in [4]. They are linear, have a fixed direction and potentials in this fixed direction are natural candidates to have pathologic behavior with respect to Thermodynamical formalism such as phase transitions.
We define the family of marked substitutions, which contains the Thue–Morse substitution, and study how the fixed-direction for the associated renormalization operator is attracting (or repelling). Namely, we show that converges provided that has the right germ close to the attractor of the substitution.
Nous étudions ici les propriétés d’un opérateur de renormalisation sur les potentiels en dynamique symbolique. Cet opérateur a été défini la première fois dans [1]. Dans [4] un lien est fait avec les substitutions en dynamique symbolique. C’est un opérateur linéaire qui agît sur les fonctions (avec une certaine régularité) et qui admet une direction invariante. Les fonctions dans cette direction propre sont des candidates naturelles pour exhiber des comportements pathologiques comme des transitions de phases congelantes.
Nous définissons ici une famille de substitutions dites marquées. Cette famille contient la substitution de Thue–Morse. Nous montrons que pour ces substitutions, l’itération de la renormalisation a un comportement hyperbolique sur les potentiels, au sens où elle attire vers la direction fixe les potentiels avec un germe bien choisi proche de l’attracteur de la substitution.
Ce résultat améliore celui de [4] où le caractère hyperbolique n’était établi que pour la moyenne des itérations.
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Keywords: thermodynamic formalism, substitutions, renormalization, grounds states, quasi-crystals
Nicolas Bédaride 1; Pascal Hubert 1; Renaud Leplaideur 2
CC-BY 4.0
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Nicolas Bédaride; Pascal Hubert; Renaud Leplaideur. Renormalization operator for substitutions. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 33 (2024) no. 1, pp. 197-224. doi : 10.5802/afst.1768. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1768/
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