On considère l’équation différentielle définie par un champ de vecteurs sur une variété algébrique (sur ), lisse, affine et irréductible. En utilisant les idées d’Umemura, on montre que la théorie de Galois différentielle correspondante s’obtient en prenant les équations aux dérivées partielles polynomiales satisfaites par les solutions en fonction des données initiales. En restriction à un ouvert de Zariski convenable (mais non en général sur la variété tout entière), ce système d’équations est un pseudogroupe de Lie.
We consider the differential equation defined by a vector field over an algebraic variety (over ) smooth, affine, and irreducible. Using the ideas of Umemura, one sees that the corresponding differential Galois theory is obtained by taking the partial differential equations satisfied by the solutions in terms of the initial conditions. By resriction to a suitable Zariski open set (but not in general on the whole variety), this system of equations is a Lie pseudogroup.
Accepté le :
Publié le :
![](/static/ptf/img/CC-BY%204.0.png)
@article{AFST_2024_6_33_1_225_0, author = {Bernard Malgrange}, title = {Deux lettres de {Bernard} {Malgrange} sur la th\'eorie de {Galois} diff\'erentielle non-lin\'eaire}, journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques}, pages = {225--235}, publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse}, volume = {6e s{\'e}rie, 33}, number = {1}, year = {2024}, doi = {10.5802/afst.1769}, language = {fr}, url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1769/} }
TY - JOUR AU - Bernard Malgrange TI - Deux lettres de Bernard Malgrange sur la théorie de Galois différentielle non-linéaire JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2024 SP - 225 EP - 235 VL - 33 IS - 1 PB - Université Paul Sabatier, Toulouse UR - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1769/ DO - 10.5802/afst.1769 LA - fr ID - AFST_2024_6_33_1_225_0 ER -
%0 Journal Article %A Bernard Malgrange %T Deux lettres de Bernard Malgrange sur la théorie de Galois différentielle non-linéaire %J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques %D 2024 %P 225-235 %V 33 %N 1 %I Université Paul Sabatier, Toulouse %U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1769/ %R 10.5802/afst.1769 %G fr %F AFST_2024_6_33_1_225_0
Bernard Malgrange. Deux lettres de Bernard Malgrange sur la théorie de Galois différentielle non-linéaire. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 33 (2024) no. 1, pp. 225-235. doi : 10.5802/afst.1769. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1769/
[1] Minimal invariant varieties and first integrals for algebraic foliations, Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.), Volume 37 (2006) no. 1, pp. 1-17 | DOI | Zbl
[2] Morales-Ramis Theorems via Malgrange pseudogroup, Ann. Inst. Fourier, Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2593-2610 | DOI | Numdam | Zbl
[3] Spécialisation du groupoïde de Galois d’un champ de vecteurs, Ann. Inst. Fourier, Volume 72 (2022) no. 6, pp. 2399-2447 | DOI | Numdam | Zbl
[4] Volume à la mémoire de Hiroshi Umemura : “Équations de Painlevé et théories de Galois différentielles” (Guy Casale; Di Vizio Lucia; Ramis Jean-Pierre, eds.), Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., 29, no. 5, 2020 | DOI | Zbl
[5] Dynamics of rational symplectic mappings and difference Galois theory, Int. Math. Res. Not., Volume 2008 (2008), rnn103, 23 pages | Zbl
[6] A Galois -groupoid for -difference equations, Ann. Inst. Fourier, Volume 61 (2011) no. 4, pp. 1493-1516 | DOI | Numdam | Zbl
[7] Équations de Pfaff algébriques, Lecture Notes in Mathematics, 708, Springer, 1979 | DOI
[8] Constrained extensions of differential fields, Adv. Math., Volume 12 (1974), pp. 141-170 | DOI | Zbl
[9] Differential algebra and algebraic groups, Pure and Applied Mathematics, 54, Academic Press Inc., 1976
[10] Le groupoïde de Galois d’un feuilletage, Essays on geometry and related topics (Monographies de l’Enseignement Mathématique), Volume 38, L’Enseignement Mathématique, 2001, pp. 465-501 | Zbl
[11] Pseudogroupes de Lie et théorie de Galois différentielle, 2010 (Prépublications de l’IHES/M/10/11)
[12] Integrability of Hamiltonian systems and differential Galois groups of higher variational equations, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 40 (2007) no. 6, pp. 845-884 | DOI | Numdam | Zbl
[13] On a general difference Galois theory. I, Ann. Inst. Fourier, Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2709-2732 | DOI | Numdam | Zbl
[14] On a general difference Galois theory. II, Ann. Inst. Fourier, Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2733-2771 | DOI | Numdam | Zbl
[15] Mathematical works of Hiroshi Umemura, Volume à la mémoire de Hiroshi Umemura : “Équations de Painlevé et théories de Galois différentielles” (Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math.), Volume 29, no. 5, 2020, pp. 1053-1062 | Numdam | Zbl
[16] Construction de préschémas quotients, Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1963–1964. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4). Tome 2. Exposes V à VIII (Lecture Notes in Mathematics), Volume 270, Springer, 1972 (exposé 5)
[17] Hiroshi Umemura et les mathématiques françaises, Volume à la mémoire de Hiroshi Umemura : “Équations de Painlevé et théories de Galois différentielles” (Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math.), Volume 29, no. 5, 2020, pp. 1007-1052 | Numdam | Zbl
[18] Differential algebra, Colloquium Publications, 33, American Mathematical Society, 1950
[19] Differential Galois theory of infinite dimension, Nagoya Math. J., Volume 144 (1996), pp. 59-135 | DOI | Zbl
[20] Galois theory of algebraic and differential equations, Nagoya Math. J., Volume 144 (1996), pp. 1-58 | DOI | Zbl
[21] Galois theory and Painlevé equations, Théories asymptotiques et équations de Painlevé (Séminaires et Congrès), Volume 14, Société Mathématique de France, 2006, pp. 299-339 | Zbl
[22] Sur l’équivalence des théories de Galois différentielles générales, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 346 (2008) no. 21-22, pp. 1155-1158 | DOI | Numdam | Zbl
[23] On the definition of the Galois groupoid, Équations différentielles et singularités. En l’honneur de J. M. Aroca (Astérisque), Volume 323, Société Mathématique de France, 2009, pp. 441-452 | Numdam | Zbl
Cité par Sources :