In this sequel to [15], we characterise the topological closure of a family of Galois orbits of torsion points of a complex abelian variety, with a model over a field of finite type. Where [15] proved this closure is a finite union of components of real Lie subgroups, we prove here that these components are translates of abelian subvarieties. On top of the conclusions of [15], our arguments work with Tate modules and are based on Faltings’s theorems on Tate conjecture.
We also state some consequences concerning some problems in homogeneous dynamics.
Cet article fait suite à [15]. Ce dernier décrivait l’adhérence topologique d’une famille d’orbites galoisiennes de points de torsion dans une variété abélienne complexe, donnée sur un corps de type fini. Là où [15] concluait que l’adhérence est une union finie de composantes de sous-groupes de Lie réels, nous montrons que ces composantes sont des translatées de sous-variétés abéliennes. Les arguments utilisés ici, outre les conclusions de [15], utilisent les modules de Tate et se basent sur les théorèmes de Faltings concernant la conjecture de Tate.
Nous donnons aussi des conséquences concernant certains problèmes de dynamique homogène.
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Rodolphe Richard 1
CC-BY 4.0
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Rodolphe Richard. Manin–Mumford topologique fort. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 33 (2024) no. 2, pp. 419-446. doi : 10.5802/afst.1776. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1776/
[1] Manin-Mumford in arithmetic pencils (2021) | arXiv
[2] Mesures stationnaires et fermés invariants des espaces homogènes, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 347 (2009) no. 1-2, pp. 9-13 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[3] Mesures stationnaires et fermés invariants des espaces homogènes, Ann. Math., Volume 174 (2011) no. 2, pp. 1111-1162 | DOI | MR | Zbl
[4] Mesures stationnaires et fermés invariants des espaces homogènes II, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 349 (2011) no. 5-6, pp. 341-345 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[5] Stationary measures and invariant subsets of homogeneous spaces (II), J. Am. Math. Soc., Volume 26 (2013) no. 3, pp. 659-734 | DOI | MR | Zbl
[6] Stationary measures and invariant subsets of homogeneous spaces (III), Ann. Math., Volume 178 (2013) no. 3, pp. 1017-1059 | DOI | MR | Zbl
[7] Sur l’algébricité des représentations -adiques, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 290 (1980) no. 15, pp. 701-703 | MR | Zbl
[8] Estimates for the number of sums and products and for exponential sums over subgroups in fields of prime order, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 337 (2003) no. 2, pp. 75-80 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[9] Preuve des conjectures de Tate et de Shafarevitch (d’après G. Faltings), Seminar Bourbaki 1983/84 (Astérisque), Volume 121-122, Société Mathématique de France, 1985, pp. 25-41 | MR | Zbl
[10] Division points on curves, Ann. Mat. Pura Appl., Volume 70 (1965), pp. 229-234 | DOI | MR | Zbl
[11] Congruence properties of Zariski-dense subgroups. I, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 48 (1984) no. 3, pp. 514-532 | DOI | MR | Zbl
[12] On subgroups of , Invent. Math., Volume 88 (1987) no. 2, pp. 257-275 | DOI | MR | Zbl
[13] Courbes sur une variété abélienne et points de torsion, Invent. Math., Volume 71 (1983), pp. 207-233 | DOI | Zbl
[14] Sous-variétés d’une variété abélienne et points de torsion, Arithmetic and geometry. Papers dedicated to I. R. Shafarevich on the occasion of his sixtieth birthday. Vol. I : Arithmetic (Progress in Mathematics), Volume 35, 1983, pp. 327-352 | Zbl
[15] Manin-Mumford par le critère de Weyl, J. Number Theory, Volume 239 (2022), pp. 137-150 | DOI | Zbl
[16] Equidistribution de sous-variétés spéciales et o-minimalité : André–Oort géométrique (2021) (with an appendix with Jiaming Chen) | arXiv
[17] Inner Galois Equidistribution in -Hecke orbits (2017) | arXiv
[18] Topological and equidistributional refinement of the André–Pink–Zannier conjecture at finitely many places, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 357 (2019) no. 3, pp. 231-235 | DOI | Numdam | Zbl
[19] Generalised André-Pink-Zannier Conjecture for Shimura varieties of abelian type (2021) | arXiv
[20] Homogeneous Dynamics and Unlikely Intersections (2018) | arXiv
[21] Limit distribution of Translated pieces of possibly irrational leaves in -arithmetic homogeneous spaces (2016) | arXiv
[22] Cours d’arithmétique, Le Mathématicien, 2, Presses Universitaires de France, 1977, 188 pages (deuxième édition revue et corrigée) | MR
[23] Représentations linéaires des groupes finis, Hermann, 1978, 182 pages | MR
[24] Un critère d’indépendance pour une famille de représentations -adiques, Comment. Math. Helv., Volume 88 (2013) no. 3, pp. 541-554 | DOI | MR | Zbl
[25] Équirépartition des petits points, Invent. Math., Volume 127 (1997) no. 2, pp. 337-347 | DOI | MR | Zbl
[26] Strong approximation for Zariski-dense subgroups of semisimple algebraic groups, Ann. Math., Volume 120 (1984) no. 2, pp. 271-315 | DOI | MR | Zbl
Cited by Sources: