[Théories de jauge et de gravité sur un fibré principal dynamique]
In this paper we present original variational formulations of Yang–Mills, Einstein’s gravitation and Kaluza–Klein theories, where, in the spirit of General Relativity, the principal bundle structure over the space-time is not fixed a priori but is dynamical. In the Yang–Mills case only a topological fibration is given a priori. In the gravity and the Kaluza–Klein theories no fibration is assumed: any critical point of the action functional defines a foliation of the manifold and the leaves make up the space-time. The latter is naturally equipped with a pseudo-Riemannian metric and, under some hypotheses, this foliation is actually a fibration. In all cases the apparition of a (at least local) principal bundle structure and a connection follows from the dynamics. Moreover the metric and the connection thus constructed are solutions of the Yang–Mills, the Einstein–Cartan or the Yang–Mills–Einstein equations, depending on the model. A crucial point is that we face the difficulty that some Lagrange multiplier fields (which are responsible for the foliation, the principal bundle structure and the connection) create unwanted terms in the equations. This difficulty is overcome by the observation that, if the structure group is compact, these terms miraculously cancel.
Dans cet article, nous présentons des formulations variationnelles originales des théories de Yang–Mills, de la gravitation d’Einstein et de Kaluza–Klein, dans lesquelles, dans l’esprit de la relativité générale, la structure de fibré principal sur l’espace-temps n’est pas fixée a priori mais est dynamique. Dans le cas de Yang–Mills, seule une fibration topologique est donnée a priori. Dans les théories de la gravité et de Kaluza–Klein, aucune fibration n’est supposée : tout point critique de la fonctionnelle d’action définit un feuilletage de la variété dont les feuilles constituent les points de l’espace-temps. Ce dernier est naturellement muni d’une métrique pseudo-riemannienne et, sous certaines hypothèses, ce feuilletage s’avère être une fibration. Dans tous les cas, l’apparition d’une structure (au moins locale) de fibré principal et d’une connexion découle de la dynamique. De plus, la métrique et la connexion ainsi construites sont des solutions des équations de Yang–Mills, d’Einstein–Cartan ou de Yang–Mills–Einstein, selon le modèle. Un point crucial est que nous sommes confrontés à la difficulté que certains champs qui sont des multiplicateurs de Lagrange (responsables du feuilletage, de la structure de fibré principal et de la connexion) sont à l’origine de termes non désirés dans les équations. Cette difficulté est surmontée par l’observation que, si le groupe de structure est compact, ces termes s’annulent miraculeusement.
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Keywords: Mathematical Physics, Differential Geometry, Gauge theory, General Relativity, Cartan Geometry, Kaluza–Klein theory
Mots-clés : Physique mathématique, géométrie différentielle, théorie de jauge, Relativité générale, géométrie de Cartan, théorie de Kaluza–Klein
Frédéric Hélein 1
CC-BY 4.0
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Frédéric Hélein. Gauge and Gravity theories on a dynamical principal bundle. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 34 (2025) no. 3, pp. 743-849. doi : 10.5802/afst.1823. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1823/
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