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Regularization in L 1 for the Ornstein-Uhlenbeck semigroup
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 25 (2016) no. 1, pp. 191-204.

Soit γ n la mesure Gaussienne standard sur n et soit (Q t ) le semi-groupe d’Ornstein-Uhlenbeck. Eldan et Lee ont montré récemment que pour toute fonction positive f d’intégrale 1 et pour temps t la queue de distribution de Q t f vérifie

γn({Qtf>r})Ct(loglogr)4rlogr,r>1

C t est une constante dépendant seulement de t et pas de la dimension. L’objet de cet article est de simplifier en partie leur démonstration et d’éliminer le facteur (loglogr) 4 .

Let γ n be the standard Gaussian measure on n and let (Q t ) be the Ornstein-Uhlenbeck semigroup. Eldan and Lee recently established that for every non-negative function f of integral 1 and any time t the following tail inequality holds true:

γn({Qtf>r})Ct(loglogr)4rlogr,r>1

where C t is a constant depending on t but not on the dimension. The purpose of the present paper is to simplify parts of their argument and to remove the (loglogr) 4 factor.

Reçu le : 2015-05-14
Accepté le : 2015-07-21
Publié le : 2016-02-29
DOI : https://doi.org/10.5802/afst.1492
@article{AFST_2016_6_25_1_191_0,
     author = {Joseph Lehec},
     title = {Regularization in $L\_1$ for the Ornstein-Uhlenbeck semigroup},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 25},
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     year = {2016},
     pages = {191-204},
     doi = {10.5802/afst.1492},
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Joseph Lehec. Regularization in $L_1$ for the Ornstein-Uhlenbeck semigroup. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 25 (2016) no. 1, pp. 191-204. doi : 10.5802/afst.1492. https://afst.centre-mersenne.org/item/AFST_2016_6_25_1_191_0/

[1] Ball (K.), Barthe (F.), Bednorz (W.), Oleszkiewicz (K.), Wolff (P.).— L 1 -smoothing for the Ornstein-Uhlenbeck semigroup, Mathematika 59, no. 1, p. 160-168 (2013).

[2] Eldan (R.), Lee (J.).— Regularization under diffusion and anti-concentration of temperature, arXiv:1410.3887.

[3] Gross (L.).— Logarithmic Sobolev inequalities, Amer. J. Math. 97, no. 4, p. 1061-1083 (1975).

[4] Lehec (J.).— Representation formula for the entropy and functional inequalities, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 49, no. 3, p. 885-899 (2013).

[5] Liptser (R.), Shiryaev (A.).— Statistics of random processes., Vol I, general theory. 2nd edition, Stochastic Modelling and Applied Probability, Springer-Verlag, Berlin (2001).

[6] Nelson (E.).— The free Markoff field. J. Functional Analysis 12, p. 211-227 (1973).

[7] Talagrand (M.).— A conjecture on convolution operators, and a non-Dunford-Pettis operator on L 1 , Israel J. Math. 68, no. 1, p. 82-88 (1989).