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Interpolation des opérateurs de Radon–Nikodym et des espaces L Λ p , h Λ p
Mohammad Daher
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 26 (2017) no. 1, p. 1-22

Let A 0 , A 1 be two Banach spaces, i:A 0 A 1 a continuous injection with dense range and 0<α<β<1. In the first part of this work, we show that if i:A α,p A β,p is a Radon–Nikodym operator, then A α,p has the Radon–Nikodym property. We show that this result is false for complex interpolation (Theorem 2.2). We also show that there are two Banach spaces B 0 ,B 1 and i:B 0 B 1 a Radon–Nikodym injection such that for 0<α<β<1, i:A α A β is not a Radon–Nikodym operator. We introduce the interpolation spaces A θ + , θ]0,1[, and show that A ¯ θ is an isometric subspace of A θ + .

In the second part of the article, we consider a regular interpolation pair (B 0 ,B 1 ) and show that L p (𝕋,B ¯ θ ) is an isometric subspace of L p (𝕋,B 0 ),L p (𝕋,B 1 ) ¯ θ for every p[1,+[. Moreover, we show that the space L (𝕋,B θ ) is an isometric subspace of L (𝕋,B 0 ),L (𝕋,B 1 ) θ . We retrieve our result from [10] concerning the interpolation of Hardy spaces of vector valued functions.

Soient A 0 , A 1 deux espaces de Banach et i:A 0 A 1 une injection continue d’image dense. Soient 0<α<β<1 et p]1,+[  ; l’injection i induit une injection A α,p A β,p entre les espaces d’interpolation réels [4]. Dans la première partie, on montre que si i:A α,p A β,p est un opérateur de Radon–Nikodym, alors A α,p a la propriété de Radon–Nikodym. Le théorème 2.2 montre que ce résultat est faux pour l’interpolation complexe.

On montre ensuite qu’il existe deux espaces de Banach B 0 , B 1 et i:B 0 B 1 une injection de Radon–Nikodym tels que pour tous 0<α<β<1, l’injection i:B α B β ne soit pas un opérateur de Radon–Nikodym. On introduit l’espace d’interpolation A θ + , θ]0,1[, et on montre que A ¯ θ est un sous-espace isométrique de A θ + .

Soit (B 0 ,B 1 ) un couple d’interpolation tel que B 0 B 1 est dense dans B 0 et B 1 . Dans la deuxième partie, on montre que L p (𝕋,B ¯ θ ) est un sous-espace isométrique de L p (𝕋,B 0 ),L p (𝕋,B 1 ) ¯ θ , pour tout p[1,+[. Pour p=, on montre que L (𝕋,B θ ) est un sous-espace isométrique de L (𝕋,B 0 ),L (𝕋,B 1 ) θ . On retrouve notre résultat antérieur [10] concernant l’interpolation des espaces de Hardy vectoriels.

Received : 2015-11-24
Accepted : 2016-02-24
Published online : 2017-02-07
DOI : https://doi.org/10.5802/afst.1524
Classification:  45B70,  46B22,  46B28
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     author = {Mohammad Daher},
     title = {Interpolation des op\'erateurs de Radon--Nikodym et des espaces $L\_\Lambda ^p$, $\mathbf{h}\_\Lambda ^p$},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {6e s{\'e}rie, 26},
     number = {1},
     year = {2017},
     pages = {1-22},
     doi = {10.5802/afst.1524},
     language = {fr},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/item/AFST_2017_6_26_1_1_0}
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Daher, Mohammad. Interpolation des opérateurs de Radon–Nikodym et des espaces $L_\Lambda ^p$, $\mathbf{h}_\Lambda ^p$. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 26 (2017) no. 1, pp. 1-22. doi : 10.5802/afst.1524. afst.centre-mersenne.org/item/AFST_2017_6_26_1_1_0/

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