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C k -estimates for the ¯-equation on concave domains of finite type
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 15 (2006) no. 3, pp. 399-426.

Les estimées C k pour les domaines convexes de type fini ont été établies dans [7] pour k=0 et dans [2] pour k>0. Nous voulons ici étudier le cas des domaines concaves de type fini. Comme pour le cas strictement pseudoconvexe, nous adaptons les outils utilisés par K. Diederich, B. Fisher et J.E. Fornæss et W. Alexandre en échangeant le rôle des variables dans les noyaux intégraux de leurs opérateurs. Cependant le comportement au bord des nouveaux noyaux n’est plus le même et il faut modifier la fonction de support de K. Diederich et J.E. Fornæss. Elle perdra son holomorphie et générera un terme résiduel dans la formule d’homotopie dont il faudra tenir compte.

C k estimates for convex domains of finite type in n are known from [7] for k=0 and from [2] for k>0. We want to show the same result for concave domains of finite type. As in the case of strictly pseudoconvex domain, we fit the method used in the convex case to the concave one by switching z and ζ in the integral kernel of the operator used in the convex case. However the kernel will not have the same behavior on the boundary as in the Diederich-Fischer-Fornæss-Alexandre work. To overcome this problem we have to alter the Diederich-Fornæss support function. Also we have to take care of the so generated residual term in the homotopy formula.

DOI : 10.5802/afst.1126
William Alexandre 1

1 LMPA, Université du Littoral - Côte d’Opale, maison de la recherche Blaise Pascal, B.P. 699, 62 228 Calais Cedex (France).
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[1] W. Alexandre Construction d’une fonction de support à la Diederich-Fornæss, PUB. IRMA, Lille, Volume 54 (2001) no. III

[2] W. Alexandre C k estimates for ¯ on convex domain of finite type (to appear in Mat. Z.)

[3] J. Bruna; P. Charpentier; Y. Dupain Zero varieties for the Nevanlinna class in convex domains of finite type in n , Ann. Math., Volume 147 (1998), pp. 391-415 | MR | Zbl

[4] A. Cumenge Estimées Lipscitz optimales dans les convexes de type fini, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 325 (1997), pp. 1077-1080 | MR | Zbl

[5] A. Cumenge Sharp estimates for ¯ in convex domains of finite type (1998) (Prépublication du lab. de math. E. Picard, Univ. Paul Sabatier, Toulouse, p. 1-22)

[6] K. Diederich; J.E. Fornæss Support functions for convex domains of finite type, Math. Z., Volume 230 (1999), pp. 145-164 | MR | Zbl

[7] K. Diederich; B. Fischer; J. E. Fornæss Hölder estimates on convex domains of finite type, Math. Z., Volume 232 (1999), pp. 43-61 | MR | Zbl

[8] K. Diederich; E. Mazzilli Zero varieties for the Nevanlinna class on all convex domains of finite type, Nagoya Math. J., Volume 163 (2001), pp. 215-227 | MR | Zbl

[9] B. Fischer L p estimates on convex domains of finite type, Math. Z., Volume 236 (2001), pp. 401-418 | MR | Zbl

[10] T. Hefer Hölder and L p estimates for ¯ on convex domains of finite type depending on Catlin’s multitype, Math. Z., Volume 242 (2002), pp. 367-398 | MR | Zbl

[11] I. Lieb; R. M. Range Lösungsoperatoren für den Cauchy-Riemann-Komplex mit C k -Abschätzungen, Math. Ann., Volume 253 (1980), pp. 145-164 | MR | Zbl

[12] J. D. McNeal Convex domains of finite type, J. Functional Anal., Volume 108 (1992), pp. 361-373 | MR | Zbl

[13] J. D. McNeal Estimates on the Bergman kernels of convex domains, Adv. in Math., Volume 109 (1994) no. 1, pp. 108-139 | MR | Zbl

[14] J. Michel ¯-Problem für stückweise streng pseudokonvexe Gebiete in n , Math. Ann., Volume 280 (1988), pp. 46-68 | MR | Zbl

[15] R. M. Range Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables, Springer-Verlag, New York, 1986 | MR | Zbl

[16] R. T. Seeley Extension of C -functions defined in a half space, Proc. Amer. Soc., Volume 15 (1964), pp. 625-626 | MR | Zbl

Cité par Sources :