Feuilleter
no. 1
Convex SO(N)×SO(n)-invariant functions and refinements of von Neumann’s inequality
Bernard Dacorogna1 ; Pierre Maréchal2
1 EPFL, CH-1015 Lausanne, Switzerland
2 Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques, F-31062 Toulouse cedex 9, France
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 1, pp. 71-89

A function f on M N×n (ℝ) which is SO(N)×SO(n)-invariant is convex if and only if its restriction to the subspace of diagonal matrices is convex. This results from Von Neumann type inequalities and appeals, in the case where N=n, to the notion of signed singular value.

Une fonction f sur M N×n (ℝ) qui est SO(N)×SO(n)-invariante est convexe si et seulement si sa restriction au sous-espace des matrices diagonales est convexe. Ceci résulte de variantes de l’inégalité de Von Neumann et fait appel, dans le cas où N=n, à la notion de valeur singulière signée.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/afst.1139

Bernard Dacorogna 1 ; Pierre Maréchal 2

1 EPFL, CH-1015 Lausanne, Switzerland
2 Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques, F-31062 Toulouse cedex 9, France 
@article{AFST_2007_6_16_1_71_0,
     author = {Bernard Dacorogna and Pierre Mar\'echal},
     title = {Convex $\operatorname{SO}(N)\times \operatorname{SO}(n)$-invariant functions and refinements of von {Neumann{\textquoteright}s} inequality},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {71--89},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 16},
     number = {1},
     year = {2007},
     doi = {10.5802/afst.1139},
     zbl = {pre05247239},
     mrnumber = {2325592},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1139/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bernard Dacorogna
AU  - Pierre Maréchal
TI  - Convex $\operatorname{SO}(N)\times \operatorname{SO}(n)$-invariant functions and refinements of von Neumann’s inequality
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2007
SP  - 71
EP  - 89
VL  - 16
IS  - 1
PB  - Université Paul Sabatier, Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1139/
DO  - 10.5802/afst.1139
LA  - en
ID  - AFST_2007_6_16_1_71_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bernard Dacorogna
%A Pierre Maréchal
%T Convex $\operatorname{SO}(N)\times \operatorname{SO}(n)$-invariant functions and refinements of von Neumann’s inequality
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2007
%P 71-89
%V 16
%N 1
%I Université Paul Sabatier, Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1139/
%R 10.5802/afst.1139
%G en
%F AFST_2007_6_16_1_71_0
Bernard Dacorogna; Pierre Maréchal. Convex $\operatorname{SO}(N)\times \operatorname{SO}(n)$-invariant functions and refinements of von Neumann’s inequality. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 1, pp. 71-89. doi: 10.5802/afst.1139

[1] J.M. Ball, Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity, Archives For Rational Mechanics and Analysis, 63, p. 337-403 (1977). | Zbl | MR

[2] B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer-Verlag, 1989. | Zbl | MR

[3] B. Dacorogna, P. Marcellini, Implicit Partial Differential Equations, Birkhäuser, 1999. | Zbl | MR

[4] B. Dacorogna, H. Koshigoe, On the different notions of convexity for rotationally invariant functions, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, II(2), p. 163-184 (1993). | Zbl | Numdam | MR

[5] J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms, I and II, Springer-Verlag, 1993. | MR

[6] R. A. Horn, C. A. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. | Zbl | MR

[7] B. Kostant, On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition, Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Supérieure, 6, p. 413-455 (1973). | Zbl | Numdam | MR

[8] P. J. Laurent, Approximation et Optimisation, Hermann, 1972. | Zbl | MR

[9] H. Le Dret, Sur les fonctions de matrices convexes et isotropes, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Paris, Série 1, Mathématiques, 310, p. 617-620 (1990). | Zbl | MR

[10] A. Lewis, Group invariance and convex matrix analysis, SIAM Journal of Matrix Analysis and Applications, 17, p. 927-949 (1996). | Zbl | MR

[11] A. Lewis, Convex analysis on Cartan subspaces, Nonlinear Analysis, 42, p. 813-820 (2000). | Zbl | MR

[12] A. Lewis, The mathematics of eigenvalue optimization, Mathematical Programming, Series B 97, p. 155-176 (2003). | Zbl | MR

[13] P. Rosakis, Characterization of convex isotropic functions, Journal of Elasticity, 49, p. 257-267 (1997). | Zbl | MR

[14] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, 1970. | Zbl | MR

[15] A. Seeger, Convex analysis of spectrally defined matrix functions, SIAM Journal on Optimization, 7(3), p. 679-696 (1997). | Zbl | MR

[16] D. Serre, Matrices: Theory and Applications, Grad. Text in Math. 216, Springer-Verlag, 2002. See also http://www.umpa.ens-lyon.fr/∼serre/publi.html. | Zbl | MR

[17] F. Vincent, Une note sur les fonctions convexes invariantes, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, p. 357-363 (1997). | Zbl | Numdam | MR

Cité par Sources :