Representations of ${\rm PGL}(2)$ of a local field and harmonic cochains on graph

Paul Broussous

doi:10.5802/afst.1213

Representations of

PGL (2)

of a local field and harmonic cochains on graph

Paul Broussous ¹

¹ Université de Poitiers, UMR6086 CNRS, SP2MI – Téléport, Bd M. et P. Curie BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 18 (2009) no. 3, pp. 541-559.

Abstract
Abstract

We give combinatorial models for non-spherical, generic, smooth, complex representations of the group $G = PGL (2, F)$ , where $F$ is a non-Archimedean locally compact field. More precisely we carry on studying the graphs ${({\tilde{X}}_{k})}_{k \geq 0}$ defined in a previous work. We show that such representations may be obtained as quotients of the cohomology of a graph ${\tilde{X}}_{k}$ , for a suitable integer $k$ , or equivalently as subspaces of the space of discrete harmonic cochains on such a graph. Moreover, for supercuspidal representations, these models are unique.

Nous donnons des modèles combinatoires des représentations lisses, complexes, génériques, non-sphériques du groupe $G = PGL (2, F)$ , où $F$ est un corps localement compact non-archimédien. Plus précisément nous reprenons l’étude des graphes ${({\tilde{X}}_{k})}_{k \geq 0}$ inaugurée dans un précédent travail. Nous montrons que de telles représentations se réalisent comme quotients de la cohomologie d’un graphe ${\tilde{X}}_{k}$ pour un $k$ bien choisi, ou, de façon équivalente, dans un espace de formes harmoniques discrètes sur un tel graphe. Pour les représentations supercuspidales, ces modèles sont de plus uniques.

MR Zbl

DOI: 10.5802/afst.1213

Author's affiliations:

Paul Broussous ¹

¹ Université de Poitiers, UMR6086 CNRS, SP2MI – Téléport, Bd M. et P. Curie BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex

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Paul Broussous. Representations of ${\rm PGL}(2)$ of a local field and harmonic cochains on graph. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 18 (2009) no. 3, pp. 541-559. doi : 10.5802/afst.1213. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1213/

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