Propriétés géométriques de $h^{p}({\mathbb{D}},X)$ et généralisations

Mohammad Daher

doi:10.5802/afst.1298

Propriétés géométriques de

h^{p} (𝔻, X)

et généralisations

Mohammad Daher ¹

¹ Département de mathématiques, Université de Paris VII

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 20 (2011) no. 2, pp. 439-463.

Abstract
Abstract

We show that $h^{2} (𝔻, L^{1} (𝕋))$ admits an equivalent $L U R - n o r m,$ which gives a negative answer to a problem mentioned by Dowling, Hu and Smith. Then we get a stability property for analytic Radon-Nikodym operators. Since, for every Banach space $X,$ $h^{p} (𝔻, X)$ and $V B^{p} (𝕋, X)$ can be identified, for a metric compact abelian group $G$ , its dual $Γ$ , and $Λ_{2} \subset Λ_{1} \subset Γ$ , we show that, if the space $V B_{Λ_{1}}^{p} (G, X) / V B_{Λ_{2}}^{p} (G, X)$ has the $K a d e c - K l e e - β^{'} - ω$ property, then it coincides with $L_{Λ_{1}}^{p} (G, X) / L_{Λ_{2}}^{p} (G, X),$ $1 \leq p < \infty .$ Finally we show that, if $L_{Λ_{2}^{c}}^{1} (G) / L_{Λ_{1}^{c}}^{1} (G)$ has the $I - (Λ_{1} ∖ Λ_{2}) - R N P,$ then it coincides with $M_{Λ_{2}^{c}} (G) / M_{Λ_{1}^{c}} (G) .$

Nous montrons que $h^{2} (𝔻, L^{1} (𝕋))$ admet une norme équivalente $L U R,$ ce qui répond négativement à une question de Dowling, Hu et Smith. Puis nous obtenons une propriété de stabilité des opérateurs de Radon-Nikodym analytique. Motivés par l’identification entre $h^{p} (𝔻, X)$ et $V B^{p} (𝕋, X)$ où $X$ est un espace de Banach, pour un groupe abélien compact métrisable $G$ , son dual $Γ$ , et $Λ_{2} \subset Λ_{1} \subset Γ$ , nous prouvons que, si l’espace $V B_{Λ_{1}}^{p} (G, X) / V B_{Λ_{2}}^{p} (G, X)$ a la propriété $K a d e c - K l e e - β^{'} - ω$ , alors il coincïde avec $L_{Λ_{1}}^{p} (G, X) / L_{Λ_{2}}^{p} (G, X),$ $1 \leq p < \infty .$ Enfin, nous montrons que si $L_{Λ_{2}^{c}}^{1} (G) / L_{Λ_{1}^{c}}^{1} (G)$ a la propriété $I - (Λ_{1} ∖ Λ_{2}) - R N P,$ alors il coincïde avec $M_{Λ_{2}^{c}} (G) / M_{Λ_{1}^{c}} (G) .$

MR Zbl

DOI: 10.5802/afst.1298

Author's affiliations:

Mohammad Daher ¹

¹ Département de mathématiques, Université de Paris VII

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Mohammad Daher. Propriétés géométriques de $h^{p}({\mathbb{D}},X)$ et généralisations. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 20 (2011) no. 2, pp. 439-463. doi : 10.5802/afst.1298. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1298/

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