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Introduction to Iterated Monodromy Groups
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 21 (2012) no. S5, pp. 1069-1118.

La théorie des groupes de monodromie itérée a été développée par Nekrashevych [9]. C’est un magnifique exemple d’application de la théorie des groupes à l’étude des systèmes dynamiques et en particulier à ceux issus de l’itération d’une application holomorphe. Les groupes de monodromie itérée fournissent un algorithme efficace qui encode des informations combinatoires de n’importe quel système dynamique induit par un revêtement ramifié post-critiquement fini. Leur intérêt a été illustré par la solution du problème de Hubbard des oreilles de lapins entortillées démontrée par Bartholdi et Nekrashevych [2].

Ces notes introduisent cette théorie et s’adressent particulièrement aux lecteurs intéressés par les systèmes dynamiques holomorphes mais non experts en théorie des groupes. Les objectifs sont de donner toutes les explications nécessaires à la compréhension de la définition principale (définition 3.6) et de fournir des méthodes pour calculer efficacement dans ces groupes (voir les exemples de la section 3.3). De plus, des liens explicites entre les groupes de monodromie itérée et les systèmes dynamiques holomorphes sont détaillés. En particulier, les classes d’équivalence combinatoire (section 4.1) et les accouplements de polynômes (section 4.2) sont abordés.

The theory of iterated monodromy groups was developed by Nekrashevych [9]. It is a wonderful example of application of group theory in dynamical systems and, in particular, in holomorphic dynamics. Iterated monodromy groups encode in a computationally efficient way combinatorial information about any dynamical system induced by a post-critically finite branched covering. Their power was illustrated by a solution of the Hubbard Twisted Rabbit Problem given by Bartholdi and Nekrashevych [2].

These notes attempt to introduce this theory for those who are familiar with holomorphic dynamics but not with group theory. The aims are to give all explanations needed to understand the main definition (Definition 3.6) and to provide skills in computing any iterated monodromy group efficiently (see examples in Section 3.3). Moreover some explicit links between iterated monodromy groups and holomorphic dynamics are detailed. In particular, Section 4.1 provides some facts about combinatorial equivalence classes, and Section 4.2 deals with matings of polynomials.

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Sébastien Godillon. Introduction to Iterated Monodromy Groups. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 21 (2012) no. S5, pp. 1069-1118. doi : 10.5802/afst.1362. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1362/

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[13] Pilgrim (K. M.).— A Hurwitz-like classification of Thurston combinatorial classes. Osaka Journal of Mathematics, 41(1), p. 131-143 (2004). | MR 2040069 | Zbl 1083.57500

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