Representing Analytic Cohomology Groups of Complex Manifolds

László Lempert

doi:10.5802/afst.1440

László Lempert

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 1, pp. 21-38.

Résumé
Abstract

On considère un fibré vectoriel holomorphe $L \to X$ et un recouvrement ouvert $𝔘 = {U_{a} : a \in A}$ de $X$ , où $A$ est une variété complexe non singulière. On démontre alors que les groupes de cohomologie $H^{q} (X, L)$ sont isomorphes aux groupes de cohomologie du complexe $C_{hol}^{•}$ $(𝔘, L)$ des cochaînes ${(f_{a_{0} ... a_{q}})}_{a_{0}, ..., a_{q} \in A}$ qui dépendent d’une façon holomorphe des $a_{j}$ , à condition que $S = {(a, x) \in A \times X : x \in U_{a}} \subset A \times X$ soit un ouvert de Stein. Ce résultat est démontré dans le cadre des variétés de Banach. On finit en donnant une application à l’étude des opérations holomorphes d’un groupe réductif complexe sur $L$ .

Consider a holomorphic vector bundle $L \to X$ and an open cover $𝔘 = {U_{a} : a \in A}$ of $X$ , parametrized by a complex manifold $A$ . We prove that the sheaf cohomology groups $H^{q} (X, L)$ can be computed from the complex $C_{hol}^{•}$ $(𝔘, L)$ of cochains ${(f_{a_{0} ... a_{q}})}_{a_{0}, ..., a_{q} \in A}$ that depend holomorphically on the $a_{j}$ , provided $S = {(a, x) \in A \times X : x \in U_{a}}$ is a Stein open subset of $A \times X$ . The result is proved in the setting of Banach manifolds, and is applied to study representations on cohomology groups induced by a holomorphic action of a complex reductive Lie group on $L$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/afst.1440

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László Lempert. Representing Analytic Cohomology Groups of Complex Manifolds. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 1, pp. 21-38. doi : 10.5802/afst.1440. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1440/

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