Basic nets in the projective plane
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 1, pp. 205-226.

La notion de réseau basique (aussi appelé polyèdre basique) dans S 2 joue un rôle central dans l’approche de Conway à l’énumération des nœuds et des entrelacs dans S 3 . Drobotukhina a appliqué cette approche aux entrelacs dans P 3 en utilisant les réseaux basiques dans P 2 . D’après le résultat de Nakamoto, tout réseau basique dans S 2 peut être obtenu à partir d’une famille très explicite des réseaux basiques minimaux (les réseaux (2×n) * , n3, selon la notation de Conway) à l’aide de deux transformations locales. On démontre un résultat similaire pour les réseaux basiques dans P 2 . On démontre aussi qu’un graphe dans P 2 est déterminé uniquement par son image reciproque sur S 2 . La preuve est basée sur le théorème du point fixe de Lefschetz.

The notion of basic net (called also basic polyhedron) on S 2 plays a central role in Conway’s approach to enumeration of knots and links in S 3 . Drobotukhina applied this approach for links in P 3 using basic nets on P 2 . By a result of Nakamoto, all basic nets on S 2 can be obtained from a very explicit family of minimal basic nets (the nets (2×n) * , n3, in Conway’s notation) by two local transformations. We prove a similar result for basic nets in P 2 . We prove also that a graph on P 2 is uniquely determined by its pull-back on S 2 . The proof is based on Lefschetz fixed point theorem.

@article{AFST_2015_6_24_1_205_0,
     author = {S.~Yu. Orevkov},
     title = {Basic nets in the projective plane},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {205--226},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de Math\'ematiques},
     address = {Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 24},
     number = {1},
     year = {2015},
     doi = {10.5802/afst.1446},
     mrnumber = {3325955},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1446/}
}
TY  - JOUR
AU  - S. Yu. Orevkov
TI  - Basic nets in the projective plane
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2015
SP  - 205
EP  - 226
VL  - 24
IS  - 1
PB  - Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques
PP  - Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1446/
DO  - 10.5802/afst.1446
LA  - en
ID  - AFST_2015_6_24_1_205_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A S. Yu. Orevkov
%T Basic nets in the projective plane
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2015
%P 205-226
%V 24
%N 1
%I Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques
%C Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1446/
%R 10.5802/afst.1446
%G en
%F AFST_2015_6_24_1_205_0
S. Yu. Orevkov. Basic nets in the projective plane. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 1, pp. 205-226. doi : 10.5802/afst.1446. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1446/

[1] Brinkmann (G.), Greenberg (S.), Greenhill (C.), McKay (B. D.), Thomas (R.), Wollan (P.).— Generation of simple quadrangulations of the sphere, Discrete Math., 305, p. 33-54 (2005). | MR | Zbl

[2] Brinkmann (G.), McKay (B. D.).— Fast generation of planar graphs, MATCH: Commun. Math. Comput. Chem., 58, p. 323-357 (2007); Expanded: http://cs.anu.edu.au/~bdm/papers/plantri-full.pdf | MR | Zbl

[3] Brinkmann (G.), McKay (B. D.).— The program plantri, http://cs.anu.edu.au/~bdm/plantri

[4] Conway (J. H.).— An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties, Computational Problems of Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967), Pergamon, Oxford, p. 329-358 (1970); Available at http://www.math.ed.ac.uk/~aar/knots/conway.pdf | MR | Zbl

[5] Drobotukhina (J.).— Classification of links in P 3 with at most six crossings, in “Topology of manifolds and varieties” (ed. O.Ya. Viro), Advances in Soviet Math., 18, A.M.S., p. 87-121, (1994). | MR | Zbl

[6] Nakamoto (A.).— Generating Quadrangulations of Surfaces with Minimum Degree at Least 3, Journal of Graph Theory, 30, no. 3, p. 223-234 (1999). | MR | Zbl

[7] Orevkov (S. Yu.).— The program ppf, http://picard.ups-tlse.fr/~orevkov/ppf.c

Cité par Sources :