Basic nets in the projective plane

S. Yu. Orevkov

doi:10.5802/afst.1446

S. Yu. Orevkov

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 1, pp. 205-226.

Résumé
Abstract

La notion de réseau basique (aussi appelé polyèdre basique) dans $S^{2}$ joue un rôle central dans l’approche de Conway à l’énumération des nœuds et des entrelacs dans $S^{3}$ . Drobotukhina a appliqué cette approche aux entrelacs dans ${ℝ P}^{3}$ en utilisant les réseaux basiques dans ${ℝ P}^{2}$ . D’après le résultat de Nakamoto, tout réseau basique dans $S^{2}$ peut être obtenu à partir d’une famille très explicite des réseaux basiques minimaux (les réseaux ${(2 \times n)}^{*}$ , $n \geq 3$ , selon la notation de Conway) à l’aide de deux transformations locales. On démontre un résultat similaire pour les réseaux basiques dans ${ℝ P}^{2}$ . On démontre aussi qu’un graphe dans ${ℝ P}^{2}$ est déterminé uniquement par son image reciproque sur $S^{2}$ . La preuve est basée sur le théorème du point fixe de Lefschetz.

The notion of basic net (called also basic polyhedron) on $S^{2}$ plays a central role in Conway’s approach to enumeration of knots and links in $S^{3}$ . Drobotukhina applied this approach for links in ${ℝ P}^{3}$ using basic nets on ${ℝ P}^{2}$ . By a result of Nakamoto, all basic nets on $S^{2}$ can be obtained from a very explicit family of minimal basic nets (the nets ${(2 \times n)}^{*}$ , $n \geq 3$ , in Conway’s notation) by two local transformations. We prove a similar result for basic nets in ${ℝ P}^{2}$ . We prove also that a graph on ${ℝ P}^{2}$ is uniquely determined by its pull-back on $S^{2}$ . The proof is based on Lefschetz fixed point theorem.

MR

DOI : 10.5802/afst.1446

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S. Yu. Orevkov. Basic nets in the projective plane. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 1, pp. 205-226. doi : 10.5802/afst.1446. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1446/

Bibliographie
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Cité par Sources :