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Basic nets in the projective plane
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 1, pp. 205-226.

La notion de réseau basique (aussi appelé polyèdre basique) dans S 2 joue un rôle central dans l’approche de Conway à l’énumération des nœuds et des entrelacs dans S 3 . Drobotukhina a appliqué cette approche aux entrelacs dans P 3 en utilisant les réseaux basiques dans P 2 . D’après le résultat de Nakamoto, tout réseau basique dans S 2 peut être obtenu à partir d’une famille très explicite des réseaux basiques minimaux (les réseaux (2×n) * , n3, selon la notation de Conway) à l’aide de deux transformations locales. On démontre un résultat similaire pour les réseaux basiques dans P 2 . On démontre aussi qu’un graphe dans P 2 est déterminé uniquement par son image reciproque sur S 2 . La preuve est basée sur le théorème du point fixe de Lefschetz.

The notion of basic net (called also basic polyhedron) on S 2 plays a central role in Conway’s approach to enumeration of knots and links in S 3 . Drobotukhina applied this approach for links in P 3 using basic nets on P 2 . By a result of Nakamoto, all basic nets on S 2 can be obtained from a very explicit family of minimal basic nets (the nets (2×n) * , n3, in Conway’s notation) by two local transformations. We prove a similar result for basic nets in P 2 . We prove also that a graph on P 2 is uniquely determined by its pull-back on S 2 . The proof is based on Lefschetz fixed point theorem.

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DOI : https://doi.org/10.5802/afst.1446
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S. Yu. Orevkov. Basic nets in the projective plane. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 24 (2015) no. 1, pp. 205-226. doi : 10.5802/afst.1446. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1446/

[1] Brinkmann (G.), Greenberg (S.), Greenhill (C.), McKay (B. D.), Thomas (R.), Wollan (P.).— Generation of simple quadrangulations of the sphere, Discrete Math., 305, p. 33-54 (2005). | MR 2186681 | Zbl 1078.05023

[2] Brinkmann (G.), McKay (B. D.).— Fast generation of planar graphs, MATCH: Commun. Math. Comput. Chem., 58, p. 323-357 (2007); Expanded: | MR 2357364 | Zbl 1164.68025

[3] Brinkmann (G.), McKay (B. D.).— The program plantri,

[4] Conway (J. H.).— An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties, Computational Problems of Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967), Pergamon, Oxford, p. 329-358 (1970); Available at | MR 258014 | Zbl 0202.54703

[5] Drobotukhina (J.).— Classification of links in P 3 with at most six crossings, in “Topology of manifolds and varieties” (ed. O.Ya. Viro), Advances in Soviet Math., 18, A.M.S., p. 87-121, (1994). | MR 1296890 | Zbl 0866.57007

[6] Nakamoto (A.).— Generating Quadrangulations of Surfaces with Minimum Degree at Least 3, Journal of Graph Theory, 30, no. 3, p. 223-234 (1999). | MR 1671172 | Zbl 0924.05018

[7] Orevkov (S. Yu.).— The program ppf,