Cohomological genus-0 Gromov-Witten invariants of a given target space can be encoded by the “descendent potential,” a generating function defined on the space of power series in one variable with coefficients in the cohomology space of the target. Replacing the coefficient space with the subspace multiplicatively generated by degree-2 classes, we explicitly reconstruct the graph of the differential of the restricted generating function from one point on it. Using the Quantum Hirzebruch–Riemann–Roch Theorem from our joint work [10] with Valentin Tonita, we derive a similar reconstruction formula in genus-0 quantum K-theory. The results amplify the role in quantum cohomology and quantum K-theory of the structures, based on divisor equations, of -modules and -modules with respect to Novikov’s variables.
Les invariants de Gromov-Witten cohomologiques de genre 0 d’une variété donnée peuvent être codés par le « potentiel descendant », une fonction génératrice définie sur l’espace des séries formelles en une variable à coefficients dans l’espace de cohomologie de la variété. En remplaçant l’espace des coefficients par le sous-espace engendré multiplicativement par les classes de degré 2, nous reconstruisons explicitement le graphe de la différentielle de la fonction génératrice à partir d’un point sur le graphe. En utilisant le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch quantique démontré dans notre travail conjoint avec Valentin Tonita, nous déduisons une formule de reconstruction similaire dans la K-théorie quantique en genre 0. Les résultats amplifient le rôle des structures, en se basant sur les équations des diviseurs, des D-modules et -modules par rapport aux variables de Novikov, dans la cohomologie quantique et dans la K-théorie quantique.
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Alexander Givental. Explicit Reconstruction in Quantum Cohomology and K-Theory. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 25 (2016) no. 2-3, pp. 419-432. doi : 10.5802/afst.1500. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1500/
[1] Ciocan-Fontanine (I.), Kim (B.).— Big -functions. Preprint, 23pp., arXiv: 1401.7417 | DOI | Zbl
[2] Coates (T.).— Riemann-Roch theorems in Gromov-Witten theory. PhD thesis, (2003-, available at http://math.harvard.edu/ tomc/thesis.pdf
[3] Corti (A.), Coates (T.), Iritani (H.), H.-H. Tseng.— Computing twisted genus-zero Gromov-Witten invariants. Duke Mathematical Journal, 147, no. 3, p. 377-438 (2009). | DOI | MR | Zbl
[4] Coates (T.), Givental (A.).— Quantum Riemann-Roch, Lefschetz and Serre. Ann. of Math. (2), 165, p. 15-53 (2007). | DOI | MR | Zbl
[5] Coates (T.), Givental (A.).— Quantum cobordisms and formal group laws. The unity of mathematics, 155-171, Progr. Math., 244, Birkhäuser Boston, Boston, MA (2006). | DOI | Zbl
[6] Givental (A.).— Homological geometry I. Projective hypersurfaces. Selecta Math. (New Series) 1, p. 325-345 (1995). | DOI | MR | Zbl
[7] Givental (A.).— Equivariant Gromov-Witten invariants. IMRN, p. 613-663 (1996). | Zbl
[8] Givental (A.).— Symplectic geometry of Frobenius structures. Frobenius manifolds, Aspects Math., E36, Vieweg, Wiesbaden, p. 91-112 (2004). | DOI | Zbl
[9] Givental (A.), Lee (Y.-P.).— Quantum K-theory on flag manifolds, finite difference Toda lattices and quantum groups. Invent. Math. 151, p. 193-219 (2003). | DOI | MR | Zbl
[10] Givental (A.), Tonita (V.).— The Hirzebruch-Riemann-Roch theorem in true genus-0 quantum K-theory. Preprint, arXiv:1106.3136 | Zbl
[11] Iritani (H.).— Quantum D-modules and generalized mirror transformations. Topology 47, no. 4, p. 225-276 (2008). | DOI | Zbl
[12] Iritani (H.), Milanov (T.), Tonita (V.).— Reconstruction and convergence in quantum K-theory via difference equations. Preprint, 36 pp., arXiv:1309.3750 | DOI | MR
[13] Kontsevich (M.), Mani (Y.).— Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry. In “Mirror Symmetry II,” AMS/IP Stud. Adv. Math., v. 1, AMS, Providence, RI, p. 607-653 (1997). | DOI | Zbl
[14] Lee (Y.-P.).— Quantum K-theory I. Foundations. Duke Math. J. 121, no. 3, p. 389-424 (2004). | DOI | Zbl
[15] Lee (Y.-P.), R. Pandharipande.— A reconstruction theorem in quantum cohomology and quantum K-theory. Amer. J. Math. 126, no. 6 p. 1367-1379 (2004). | DOI | MR | Zbl
[16] Tonita (V.).— A virtual Kawasaki Riemann-Roch formula. Pacific J. Math. 268, no. 1, p. 249-255 (2014). arXiv:1110.3916. | DOI | MR | Zbl
[17] Tonita (V.).— Twisted orbifold Gromov-Witten invariants. Nagoya Math. J. 213, p. 141-187 (2014). arXiv:1202.4778 | DOI | MR | Zbl
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