Diffusion-orthogonal polynomial systems of maximal weighted degree

Lev Soukhanov

doi:10.5802/afst.1543

Lev Soukhanov

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 26 (2017) no. 2, pp. 511-518.

Résumé
Abstract

Un système de diffusion polynomial est la donnée d’un domaine borné $Ω \subset ℝ^{d}$ équipé d’une mesure $μ$ et d’un opérateur différentiel elliptique d’ordre deux $L$ , autoadjoint sur $L^{2} (Ω, μ)$ , tels que l’espace de polynômes de degré $\leq n$ est invariant par $L$ pour tout $n$ . Cette notion est introduite dans [1] et les modèles en dimension $2$ y sont classifiés.

Une conséquence est que la frontière de $Ω$ est toujours une hypersurface algébrique de degré $\leq 2 d$ . D’après [1], en dimension $2$ et lorsque le degré est maximal (égal à $4$ ) le symbole $g^{i j}$ de $L$ est une cométrique de courbure constante.

Nous présentons une démonstration indépendante de cette propriété valable en toute dimension.

A diffusion-orthogonal polynomial system is a bounded domain $Ω$ in $ℝ^{d}$ endowed with the measure $μ$ and the second-order elliptic differential operator $L$ , self adjoint w.r.t $L^{2} (Ω, μ)$ , preserving the space of polynomials of degree $\leq n$ for any $n$ . This notion was initially defined in [2], and $2$ -dimensional models were classified.

It turns out that the boundary of $Ω$ is always an algebraic hypersurface of degree $\leq 2 d$ . It was pointed out in [2] that in dimension $2$ , when the degree is maximal (so, equals $4$ ), the symbol of $L$ (denoted by $g^{i j}$ ) is a cometric of constant curvature.

We present the self-contained classification-free proof of this property, and its multidimensional generalisation.

Publié le : 2017-04-12

DOI : 10.5802/afst.1543

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{AFST_2017_6_26_2_511_0,
     author = {Lev Soukhanov},
     title = {Diffusion-orthogonal polynomial systems of maximal weighted degree},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {511--518},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 26},
     number = {2},
     year = {2017},
     doi = {10.5802/afst.1543},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1543/}
}

TY  - JOUR
AU  - Lev Soukhanov
TI  - Diffusion-orthogonal polynomial systems of maximal weighted degree
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2017
SP  - 511
EP  - 518
VL  - 26
IS  - 2
PB  - Université Paul Sabatier, Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1543/
DO  - 10.5802/afst.1543
LA  - en
ID  - AFST_2017_6_26_2_511_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Lev Soukhanov
%T Diffusion-orthogonal polynomial systems of maximal weighted degree
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2017
%P 511-518
%V 26
%N 2
%I Université Paul Sabatier, Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1543/
%R 10.5802/afst.1543
%G en
%F AFST_2017_6_26_2_511_0

Lev Soukhanov. Diffusion-orthogonal polynomial systems of maximal weighted degree. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 26 (2017) no. 2, pp. 511-518. doi : 10.5802/afst.1543. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1543/

Bibliographie
Cité par

[1] Dominique Bakry Symmetric diffusions with polynomial eigenvectors (2014) (https://arxiv.org/abs/1403.7468v1)

[2] Dominique Bakry; Stepan Orevkov; Marguerite Zani Orthogonal polynomials and diffusion operators (2014) (https://arxiv.org/abs/1309.5632v2)

[3] Friedbert Prüfer; Franco Tricerri; Lieven Vanhecke Curvature invariants, differential operators and local homogeneity, Trans. Am. Math. Soc., Volume 348 (1996) no. 11, pp. 4643-4652 | DOI

Cité par Sources :