logo AFST
Geodesic intersections and isoxial Fuchsian groups.
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 28 (2019) no. 3, pp. 471-489.

L’ensemble des axes d’éléments hyperboliques dans un groupe fuchsien dépend de la classe de commensurabilité du groupe. En effet, cet ensemble détermine la classe de commensurabilité pour les groupes du deuxième type, d’après G. Mess, et pour les groupes arithmétiques, d’après D. Long et A. Reid. Selon une veille conjecture, la classe de commensurabilité d’un groupe fuchsien non élémentaire est toujours déterminée par ses axes. Nous montrons ici que la conjecture est vraie pour presque tous les groupes fuchsiens et expliquons pourquoi notre méthode ne s’applique pas aux groupes arithmétiques.

The set of axes of hyperbolic elements in a Fuchsian group depends on the commensurability class of the group. In fact, it has been conjectured that it determines the commensurability class and this has been verified for groups of the second kind by G. Mess and for arithmetic groups by D. Long and A. Reid. Here we show that the conjecture holds for almost all Fuchsian groups and explain why our method fails for arithmetic groups.

Publié le :
DOI : 10.5802/afst.1606
Classification : 57M27, 37E30, 57M55
Mots clés : Fuchsian groups, commensurability
Greg McShane 1

1 UFR de Mathématiques Institut Fourier 100 rue des maths BP 74, 38402 St-Martin-d’Hères cedex, France
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
@article{AFST_2019_6_28_3_471_0,
     author = {Greg McShane},
     title = {Geodesic intersections and isoxial {Fuchsian} groups.},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {471--489},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 28},
     number = {3},
     year = {2019},
     doi = {10.5802/afst.1606},
     language = {en},
     url = {https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1606/}
}
TY  - JOUR
AU  - Greg McShane
TI  - Geodesic intersections and isoxial Fuchsian groups.
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2019
SP  - 471
EP  - 489
VL  - 28
IS  - 3
PB  - Université Paul Sabatier, Toulouse
UR  - https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1606/
DO  - 10.5802/afst.1606
LA  - en
ID  - AFST_2019_6_28_3_471_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Greg McShane
%T Geodesic intersections and isoxial Fuchsian groups.
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2019
%P 471-489
%V 28
%N 3
%I Université Paul Sabatier, Toulouse
%U https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1606/
%R 10.5802/afst.1606
%G en
%F AFST_2019_6_28_3_471_0
Greg McShane. Geodesic intersections and isoxial Fuchsian groups.. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 28 (2019) no. 3, pp. 471-489. doi : 10.5802/afst.1606. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1606/

[1] Alan F. Beardon The Geometry of Discrete Groups, Graduate Texts in Mathematics, 91, Springer, 1983 | MR | Zbl

[2] Peter Buser Geometry and Spectra of Compact Riemann surfaces, Progress in Mathematics, 106, Birkhäuser, 1992 | MR | Zbl

[3] Christopher B. Croke Rigidity for surfaces of nonpositive curvature, Comment. Math. Helv., Volume 65 (1990) no. 1, pp. 150-169 | DOI | MR | Zbl

[4] Matthieu Gendulphe Trois applications du lemme de Schwarz aux surfaces hyperboliques (2014) (https://arxiv.org/abs/1404.4487) | Zbl

[5] Steven Kerckhoff The Nielsen Realization problem, Ann. Math., Volume 117 (1983), pp. 235-265 | DOI | MR | Zbl

[6] Darren Long; Alan W. Reid On Fuchsian groups with the same set of axes, Bull. Lond. Math. Soc., Volume 30 (1998) no. 5, pp. 533-538 | DOI | MR | Zbl

[7] Greg Mcshane On the variation of a series on Teichmüller space, Pac. J. Math., Volume 231 (2007) no. 2, pp. 461-479 | DOI | MR | Zbl

[8] Greg McShane; Hugo Parlier Multiplicities of simple closed geodesics and hypersurfaces in Teichmüller space, Geom. Topol., Volume 12 (2008) no. 4, pp. 1883-1919 | DOI | Zbl

[9] Sugata Mondal Rigidity of length-angle spectrum for closed hyperbolic surfaces (2017) (https://arxiv.org/abs/1701.08829)

[10] Sugata Mondal An arithmetic property of the set of angles between closed geodesics on hyperbolic surfaces of finite type, Geom. Dedicata, Volume 195 (2018), pp. 241-247 | DOI | MR | Zbl

[11] Jean-Pierre Otal Le spectre marqué des longueurs des surfaces courbure négative, Ann. Math., Volume 131 (1990) no. 1, pp. 151-162 | DOI | MR | Zbl

[12] Alan W. Reid Traces, lengths, axes and commensurability, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 23 (2014) no. 5, pp. 1103-1118 | DOI | MR | Zbl

[13] Toshikazu Sunada Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. Math., Volume 121 (1985) no. 1, pp. 169-186 | DOI | MR | Zbl

[14] Marie-France Vignéras Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques, Ann. Math., Volume 112 (1980) no. 1, pp. 21-32 | DOI | Zbl

Cité par Sources :