Dans cette note, nous obtenons une inégalité de Sobolev logarithmique nouvelle pour le noyau de la chaleur sur le groupe de Heisenberg. La preuve est inspirée de la méthode historique de Leonard Gross à base de théorème limite central pour une marche aléatoire. Ici la nature non commutative des incréments produit un nouveau gradient qui fait intervenir naturellement un pont brownien sur le groupe de Heisenberg. Cette nouvelle inégalité contient l’inégalité de Sobolev logarithmique optimale pour la mesure gaussienne en deux dimensions. Nous comparons cette nouvelle inégalité avec l’inégalité sous-elliptique de Hong-Quan Li et avec les inégalités plus récentes de Fabrice Baudoin et Nicola Garofalo obtenues avec un critère de courbure généralisé. Enfin nous étendons notre inégalités au cas des groupes de Carnot homogène de rang deux.
In this note, we derive a new logarithmic Sobolev inequality for the heat kernel on the Heisenberg group. The proof is inspired from the historical method of Leonard Gross with the Central Limit Theorem for a random walk. Here the non commutative nature of the increments produces a new gradient which naturally involves a Brownian bridge on the Heisenberg group. This new inequality contains the optimal logarithmic Sobolev inequality for the Gaussian distribution in two dimensions. We compare this new inequality with the sub-elliptic logarithmic Sobolev inequality of Hong-Quan Li and with the more recent inequality of Fabrice Baudoin and Nicola Garofalo obtained using a generalized curvature criterion. Finally, we extend this inequality to the case of homogeneous Carnot groups of rank two.
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Mots clés : Heisenberg group, Heat kernel, Brownian Motion, Poincaré inequality, Logarithmic Sobolev inequality, Random Walk, Central Limit Theorem
Michel Bonnefont 1 ; Djalil Chafaï 2 ; Ronan Herry 3
CC-BY 4.0
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Michel Bonnefont; Djalil Chafaï; Ronan Herry. On logarithmic Sobolev inequalities for the heat kernel on the Heisenberg group. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 29 (2020) no. 2, pp. 335-355. doi : 10.5802/afst.1633. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1633/
[1] On gradient bounds for the heat kernel on the Heisenberg group, J. Funct. Anal., Volume 255 (2008) no. 8, pp. 1905-1938 | DOI | MR | Zbl
[2] Analysis and geometry of Markov diffusion operators, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 348, Springer, 2014, xx+552 pages | MR | Zbl
[3] An introduction to the geometry of stochastic flows, Imperial College Press, 2004, x+140 pages | Zbl
[4] Stochastic analysis on sub-Riemannian manifolds with transverse symmetries, Ann. Probab., Volume 45 (2017) no. 1, pp. 56-81 | DOI | MR | Zbl
[5] Log-Sobolev inequalities for subelliptic operators satisfying a generalized curvature dimension inequality, J. Funct. Anal., Volume 262 (2012) no. 6, pp. 2646-2676 | DOI | MR | Zbl
[6] Curvature-dimension inequalities and Ricci lower bounds for sub-Riemannian manifolds with transverse symmetries, J. Eur. Math. Soc., Volume 19 (2017) no. 1, pp. 151-219 | DOI | MR | Zbl
[7] Hamilton-Jacobi theory and the heat kernel on Heisenberg groups, J. Math. Pures Appl., Volume 79 (2000) no. 7, pp. 633-689 | DOI | MR | Zbl
[8] Stratified Lie groups and potential theory for their sub-Laplacians, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2007, xxvi+800 pages | Zbl
[9] Inégalités fonctionnelles pour des noyaux de la chaleur sous-elliptiques, Ph. D. Thesis, Université Paul Sabatier Toulouse III (France) (2009)
[10] Hypoelliptic heat kernel inequalities on the Heisenberg group, J. Funct. Anal., Volume 221 (2005) no. 2, pp. 340-365 | DOI | MR
[11] Gradient estimates for the subelliptic heat kernel on -type groups, J. Funct. Anal., Volume 258 (2010) no. 2, pp. 504-533 | DOI | MR | Zbl
[12] Logarithmic Sobolev inequalities, Am. J. Math., Volume 97 (1975) no. 4, pp. 1061-1083 | DOI | MR
[13] Logarithmic Sobolev inequalities on Lie groups, Ill. J. Math., Volume 36 (1992) no. 3, pp. 447-490 | DOI | MR | Zbl
[14] Coercive inequalities on metric measure spaces, J. Funct. Anal., Volume 258 (2010) no. 3, pp. 814-851 | DOI | MR | Zbl
[15] Asymptotics for some Green kernels on the Heisenberg group and the Martin boundary, Math. Ann., Volume 283 (1989) no. 1, pp. 97-119 | DOI | MR | Zbl
[16] Subelliptic, second order differential operators, Complex analysis, III (College Park, Md., 1985–86) (Lecture Notes in Mathematics), Volume 1277, Springer, 1987, pp. 46-77 | MR | Zbl
[17] Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le groupe de Heisenberg, J. Funct. Anal., Volume 236 (2006) no. 2, pp. 369-394 | MR | Zbl
[18] Estimations optimales du noyau de la chaleur sur les groupes de type Heisenberg, J. Reine Angew. Math., Volume 646 (2010), pp. 195-233 | MR | Zbl
[19] A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications, Mathematical Surveys and Monographs, 91, American Mathematical Society, 2002, xx+259 pages | MR | Zbl
[20] Probabilities on the Heisenberg group. Limit theorems and Brownian motion, Lecture Notes in Mathematics, 1630, Springer, 1996, viii+139 pages | MR | Zbl
[21] Limit theorems for random walks on Lie groups, Sankhyā, Ser. A, Volume 35 (1973) no. 3, pp. 277-294 | MR | Zbl
[22] Probabilities on Lie groups, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Volume 48 (1962), pp. 791-795 | DOI | MR | Zbl
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