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On logarithmic Sobolev inequalities for the heat kernel on the Heisenberg group
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 29 (2020) no. 2, pp. 335-355.

Dans cette note, nous obtenons une inégalité de Sobolev logarithmique nouvelle pour le noyau de la chaleur sur le groupe de Heisenberg. La preuve est inspirée de la méthode historique de Leonard Gross à base de théorème limite central pour une marche aléatoire. Ici la nature non commutative des incréments produit un nouveau gradient qui fait intervenir naturellement un pont brownien sur le groupe de Heisenberg. Cette nouvelle inégalité contient l’inégalité de Sobolev logarithmique optimale pour la mesure gaussienne en deux dimensions. Nous comparons cette nouvelle inégalité avec l’inégalité sous-elliptique de Hong-Quan Li et avec les inégalités plus récentes de Fabrice Baudoin et Nicola Garofalo obtenues avec un critère de courbure généralisé. Enfin nous étendons notre inégalités au cas des groupes de Carnot homogène de rang deux.

In this note, we derive a new logarithmic Sobolev inequality for the heat kernel on the Heisenberg group. The proof is inspired from the historical method of Leonard Gross with the Central Limit Theorem for a random walk. Here the non commutative nature of the increments produces a new gradient which naturally involves a Brownian bridge on the Heisenberg group. This new inequality contains the optimal logarithmic Sobolev inequality for the Gaussian distribution in two dimensions. We compare this new inequality with the sub-elliptic logarithmic Sobolev inequality of Hong-Quan Li and with the more recent inequality of Fabrice Baudoin and Nicola Garofalo obtained using a generalized curvature criterion. Finally, we extend this inequality to the case of homogeneous Carnot groups of rank two.

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DOI : 10.5802/afst.1633
Classification : 22E30, 35R03, 35A23, 60J65
Mots clés : Heisenberg group, Heat kernel, Brownian Motion, Poincaré inequality, Logarithmic Sobolev inequality, Random Walk, Central Limit Theorem
Michel Bonnefont 1 ; Djalil Chafaï 2 ; Ronan Herry 3

1 Institut de Mathématiques de Bordeaux, Université de Bordeaux, France
2 CEREMADE, Université Paris-Dauphine, PSL, IUF, France
3 Université du Luxembourg et Université Paris-Est Marne-la-Vallée, France
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
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Michel Bonnefont; Djalil Chafaï; Ronan Herry. On logarithmic Sobolev inequalities for the heat kernel on the Heisenberg group. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 29 (2020) no. 2, pp. 335-355. doi : 10.5802/afst.1633. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1633/

[1] Dominique Bakry; Fabrice Baudoin; Michel Bonnefont; Djalil Chafaï On gradient bounds for the heat kernel on the Heisenberg group, J. Funct. Anal., Volume 255 (2008) no. 8, pp. 1905-1938 | DOI | MR | Zbl

[2] Dominique Bakry; Ivan Gentil; Michel Ledoux Analysis and geometry of Markov diffusion operators, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 348, Springer, 2014, xx+552 pages | MR | Zbl

[3] Fabrice Baudoin An introduction to the geometry of stochastic flows, Imperial College Press, 2004, x+140 pages | Zbl

[4] Fabrice Baudoin Stochastic analysis on sub-Riemannian manifolds with transverse symmetries, Ann. Probab., Volume 45 (2017) no. 1, pp. 56-81 | DOI | MR | Zbl

[5] Fabrice Baudoin; Michel Bonnefont Log-Sobolev inequalities for subelliptic operators satisfying a generalized curvature dimension inequality, J. Funct. Anal., Volume 262 (2012) no. 6, pp. 2646-2676 | DOI | MR | Zbl

[6] Fabrice Baudoin; Nicola Garofalo Curvature-dimension inequalities and Ricci lower bounds for sub-Riemannian manifolds with transverse symmetries, J. Eur. Math. Soc., Volume 19 (2017) no. 1, pp. 151-219 | DOI | MR | Zbl

[7] Richard Beals; Bernard Gaveau; Peter C. Greiner Hamilton-Jacobi theory and the heat kernel on Heisenberg groups, J. Math. Pures Appl., Volume 79 (2000) no. 7, pp. 633-689 | DOI | MR | Zbl

[8] Andrea Bonfiglioli; Ermanno Lanconelli; Francesco Uguzzoni Stratified Lie groups and potential theory for their sub-Laplacians, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2007, xxvi+800 pages | Zbl

[9] Michel Bonnefont Inégalités fonctionnelles pour des noyaux de la chaleur sous-elliptiques, Ph. D. Thesis, Université Paul Sabatier Toulouse III (France) (2009)

[10] Bruce K. Driver; Tai Melcher Hypoelliptic heat kernel inequalities on the Heisenberg group, J. Funct. Anal., Volume 221 (2005) no. 2, pp. 340-365 | DOI | MR

[11] Nathaniel Eldredge Gradient estimates for the subelliptic heat kernel on H-type groups, J. Funct. Anal., Volume 258 (2010) no. 2, pp. 504-533 | DOI | MR | Zbl

[12] Leonard Gross Logarithmic Sobolev inequalities, Am. J. Math., Volume 97 (1975) no. 4, pp. 1061-1083 | DOI | MR

[13] Leonard Gross Logarithmic Sobolev inequalities on Lie groups, Ill. J. Math., Volume 36 (1992) no. 3, pp. 447-490 | DOI | MR | Zbl

[14] Waldemar Hebisch; Boguslaw Zegarliński Coercive inequalities on metric measure spaces, J. Funct. Anal., Volume 258 (2010) no. 3, pp. 814-851 | DOI | MR | Zbl

[15] Hermann Hueber; Detlef Müller Asymptotics for some Green kernels on the Heisenberg group and the Martin boundary, Math. Ann., Volume 283 (1989) no. 1, pp. 97-119 | DOI | MR | Zbl

[16] David Jerison; Antonio Sánchez-Calle Subelliptic, second order differential operators, Complex analysis, III (College Park, Md., 1985–86) (Lecture Notes in Mathematics), Volume 1277, Springer, 1987, pp. 46-77 | MR | Zbl

[17] Hong-Quan Li Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le groupe de Heisenberg, J. Funct. Anal., Volume 236 (2006) no. 2, pp. 369-394 | MR | Zbl

[18] Hong-Quan Li Estimations optimales du noyau de la chaleur sur les groupes de type Heisenberg, J. Reine Angew. Math., Volume 646 (2010), pp. 195-233 | MR | Zbl

[19] Richard Montgomery A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications, Mathematical Surveys and Monographs, 91, American Mathematical Society, 2002, xx+259 pages | MR | Zbl

[20] Daniel Neuenschwander Probabilities on the Heisenberg group. Limit theorems and Brownian motion, Lecture Notes in Mathematics, 1630, Springer, 1996, viii+139 pages | MR | Zbl

[21] Daniel W. Stroock; S. R. S. Varadhan Limit theorems for random walks on Lie groups, Sankhyā, Ser. A, Volume 35 (1973) no. 3, pp. 277-294 | MR | Zbl

[22] Donald Wehn Probabilities on Lie groups, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Volume 48 (1962), pp. 791-795 | DOI | MR | Zbl

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