Toward quantization of Galois theory
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 29 (2020) no. 5, pp. 1319-1431.

This article was born from our mathematical experiments, the first explorations of the unknown continent of quantized Galois theory. Known is classical Galois theory for linear differential equations, called Picard–Vessiot theory. Reformulating Picard–Vessiot theory in the language of Hopf algebras, we find a new way to a generalization, in which the commutative ring $ℂ\left[\mathrm{d}/\mathrm{d}x\right]$ of differential operators with constant coefficients is replaced by an arbitrary Hopf algebra of operators that may be non-commutative [1]. The Hopf algebras in this generalized theory are, however, basically assumed to be co-commutative since the theory is interested only in commutative rings with operators. Consequently their Galois groups are linear algebraic groups and the Galois theory is not quantized. Heiderich [1] combined the Hopf Galois theory [7] for linear equations with Umemura’s general Galois theory [22] for non-linear differential equations.

In Parts I and II we use Heiderich’s idea to investigate concrete examples of linear or non-linear difference-differential (or qsi) equations. In Part I we show through some examples that quantization of the Galois groups is indeed realized. The quantized Galois groups are Hopf algebras that are neither commutative nor co-commutative. In fact, quantization occurs even for linear equations. In Part II we investigate a special example of linear qsi equations to prove unique existence of the non-commutative Picard–Vessiot rings. These investigations of examples lead successfully to general results obtained in Part III, in which the examples are generalized to Hopf linear equations over a constant field $C$. The results are formulated in terms of arbitrary $C$-Hopf algebras $H$ and left $H$-modules of finite $C$-dimension, and they involve non-commutative Tannaka categories.

Cet article est né de nos expériences mathématiques, les premières explorations dans le continent inconnu de la théorie de Galois quantifiée. Nous connaissons la théorie de Galois classique des équations différentielles linéaires, appelée théorie de Picard–Vessiot. Quand la théorie de Picard–Vessiot est formulée dans le langage des algèbres de Hopf, elle ouvre une nouvelle voie vers la généralisation. Nous pourrions remplacer l’algèbre commutative $ℂ\left[\mathrm{d}/\mathrm{d}x\right]$ des opérateurs différentiels à coefficients constants par une algébre de Hopf d’opérateurs quelconque comme cela est fait dans [1]. Ces travaux s’intéressent uniquement aux anneaux commutatifs à opérateurs, les algèbres de Hopf dans cette théorie sont essentiellement supposées co-commutatives. Par conséquent, leurs groupes de Galois sont des groupes algébriques linéaires et la théorie de Galois n’est pas quantifiée.

Heiderich [7] a découvert que l’on peut réunir la théorie de Picard–Vessiot généralisée [1] et notre théorie de Galois [22] des équations différentielles non-linéaires. Nous appliquons son idée à certains exemples concrets et montrons, dans la première partie, que la théorie de Galois est bien quantifiée c’est-à-dire, le groupe de Galois qui est une algèbre de Hopf, n’est ni commutative, ni co-commutative, même pour les équations linéaires.

Dans la deuxième partie, nous analysons une équation différentielle et aux différences linéaire particulière. Nous montrons l’existence et l’unicité de l’extention de Picard–Vessiot non-commutative de l’équation.

L’analyse détaillée nous permet d’établir dans la troisième partie, pour une algèbre de Hopf quelconque d’opérateurs, la théorie de Galois quantique des équations linéaires à coefficients constants. Nous démontrons aussi l’équivalence des catégories tannakiennes non-commutatives. Ainsi donc, pour toute algèbre de Hopf $H$ sur un corps $C$ et tout $H$-module à gauche $M$ qui soit un espace $C$-vectoriel de dimension finie, nous avons la théorie de Galois exprimée en terme d’algèbres de Hopf.

Published online:
DOI: 10.5802/afst.1663
Akira Masuoka 1; Katsunori Saito 2; Hiroshi Umemura 2

1 Institute of Mathematics, University of Tsukuba, Japan
2 Graduate School of Mathematics, Nagoya University, Japan
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