Feuilleter
no. 1
Two-parameter unfolding of a parabolic point of a vector field in ℂ fixing the origin
Christiane Rousseau1
1 Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal, C.P. 6128, Succursale Centre-ville, Montréal (Qc), H3C 3J7, Canada
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 30 (2021) no. 1, pp. 139-169

In this paper we describe the bifurcation diagram of the 2-parameter family of vector fields z ˙=z(z k +ϵ 1 z+ϵ 0 ) over ℂℙ 1 for (ϵ 1 ,ϵ 0 )∈ℂ 2 . There are two kinds of bifurcations: bifurcations of parabolic points and bifurcations of homoclinic loops through infinity. The latter are studied using the tool of the periodgon introduced in a particular case in [1], and then generalized in [4]. We apply the results to the bifurcation diagram of a generic germ of 2-parameter analytic unfolding preserving the origin of the vector field z ˙=z k+1 +o(z k+1 ) with a parabolic point at the origin.

Dans cet article nous décrivons le diagramme de bifurcation de la famille de champs de vecteurs à deux paramètres z ˙=z(z k +ϵ 1 z+ϵ 0 ) sur ℂℙ 1 pour (ϵ 1 ,ϵ 0 )∈ℂ 2 . Il y a deux types de bifurcations : des bifurcations de points paraboliques et des bifurcations de boucles homocliniques par le pôle à l’infini. Ces dernières sont étudiées en utilisant l’outil du polygone des périodes introduit dans un cas particulier dans [1] et généralisé dans [4]. On applique les résultats au diagramme de bifurcation d’un germe générique de déploiment analytique à deux paramètres préservant l’origine du champ de vecteurs z ˙=z k+1 +o(z k+1 ) avec un point parabolique à l’origine.

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DOI : 10.5802/afst.1669
Classification : 37F75, 32M25, 32S65, 34M99

Christiane Rousseau 1

1 Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal, C.P. 6128, Succursale Centre-ville, Montréal (Qc), H3C 3J7, Canada
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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TY  - JOUR
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JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
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Christiane Rousseau. Two-parameter unfolding of a parabolic point of a vector field in $\protect \mathbb{C}$ fixing the origin. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 30 (2021) no. 1, pp. 139-169. doi: 10.5802/afst.1669

[1] Arnaud Chéritat; Christiane Rousseau Generic 1-parameter perturbations of a vector field with a singular point of codimension k (2017) (https://arxiv.org/abs/1701.03276)

[2] A. Douady; J.-F. Estrada; S. Sentenac Champs de vecteurs polynomiaux sur ℂ (2005) (preprint)

[3] Askold G. Khovanskii Fewnomials, Translations of Mathematical Monographs, 88, American Mathematical Society, 1991, viii+139 pages (Translated from the Russian by Smilka Zdravkovska) | MR

[4] Martin Klimeš; Christiane Rousseau Generic 2-parameter perturbations of parabolic singular points of vector fields in ℂ, Conform. Geom. Dyn., Volume 22 (2018), pp. 141-184 | MR | DOI | Zbl

[5] Christiane Rousseau Analytic moduli for unfoldings of germs of generic analytic diffeomorphisms with a codimension k parabolic point, Ergodic Theory Dyn. Syst., Volume 35 (2015) no. 1, pp. 274-292 | Zbl | MR | DOI

[6] Christiane Rousseau The bifurcation diagram of cubic polynomial vector fields on ℂℙ 1 , Can. Math. Bull., Volume 60 (2017) no. 2, pp. 381-401 | MR | DOI

[7] Christiane Rousseau; Colin Christopher Modulus of analytic classification for the generic unfolding of a codimension 1 resonant diffeomorphism or resonant saddle, Ann. Inst. Fourier, Volume 57 (2007) no. 1, pp. 301-360 | Zbl | Numdam | MR | DOI

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