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no. 5
On essential-selfadjointness of differential operators on closed manifolds
Yves Colin de Verdière1; Corentin Le Bihan2
1 Institut Fourier, Université Grenoble-Alpes, Unité mixte de recherche CNRS-UGA 5582, BP 74, 38402 Saint Martin d’Hères Cedex, France
2 UMPA, UMR 5669 CNRS, ENS de Lyon Site Monod, 46 Allée d’Italie, 69364 Lyon Cedex 07, France
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 31 (2022) no. 5, pp. 1287-1302.

The goal of this paper is to present some arguments leading to the following conjecture: a formally self-adjoint differential operator on a closed manifold is essentially self-adjoint if and only if the Hamiltonian flow of its symbol is complete. This holds for differential operators of degree two on the circle, for differential operators of degree one on any closed manifold and for Lorentzian Laplacians on generic Lorentzian surfaces.

Le but de cet article est de présenter des arguments conduisant à la conjecture suivante : sur une variété compacte, un opérateur pseudo-différentiel formellement symétrique est essentiellement auto-adjoint si et seulement si le flot Hamiltonien du symbole est complet. Nous montrons cette conjecture pour les opérateurs différentiels de degré 2 dans le cas du cercle, pour les opérateurs différentiels de degré 1 et pour le laplacien lorentzien des surfaces Lorentziennes génériques.

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DOI: 10.5802/afst.1719

Yves Colin de Verdière 1; Corentin Le Bihan 2

1 Institut Fourier, Université Grenoble-Alpes, Unité mixte de recherche CNRS-UGA 5582, BP 74, 38402 Saint Martin d’Hères Cedex, France
2 UMPA, UMR 5669 CNRS, ENS de Lyon Site Monod, 46 Allée d’Italie, 69364 Lyon Cedex 07, France
License: CC-BY 4.0
Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights 
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Yves Colin de Verdière; Corentin Le Bihan. On essential-selfadjointness of differential operators on closed manifolds. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 31 (2022) no. 5, pp. 1287-1302. doi : 10.5802/afst.1719. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1719/

[1] Maxim Braverman; Ognjen Milatovic; Mikhail Shubin Essential self-adjointness of Schrödinger-type operators on manifolds, Usp. Mat. Nauk, Volume 57 (2002) no. 4, pp. 3-58 translation in Russian Math. Surveys 57 (2022), no. 4, p. 641–692 | Zbl

[2] Yves Carrière; Luc Rozoy Complétude des métriques Lorentziennes de 𝕋 2 et difféomorphismes du cercle, Bol. Soc. Bras. Mat., Volume 25 (1994) no. 2, pp. 223-235 | DOI | Zbl

[3] Earl A. Coddington; Norman Levinson Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill, 1955

[4] Edward B. Davies Heat kernels and spectral theory, Cambridge Tracts in Mathematics, 82, Cambridge University Press, 1989 | DOI

[5] Kurt O. Friedrichs The Identity of Weak and Strong Extensions of Differential Operators, Trans. Am. Math. Soc., Volume 55 (1944), pp. 132-151 | DOI | MR | Zbl

[6] Matthew P. Gaffney A special Stoke’s theorem for complete Riemannian manifolds, Ann. Math., Volume 60 (1954), pp. 140-145 | DOI | MR | Zbl

[7] Lars Gårding; Takeshi Kotake; Jean Leray Uniformisation et développement asymptotique de la solution du problème de Cauchy linéaire, à données holomorphes; analogie avec la théorie des ondes asymptotiques et approchées (Problème de Cauchy I bis et VI), Bull. Soc. Math. Fr., Volume 92 (1964), pp. 263-361 | DOI | Numdam | Zbl

[8] Lars Hörmander L 2 -estimates and existence theorems for the ∂ ¯ operator, Acta Math., Volume 113 (1965), pp. 89-152 | DOI | MR | Zbl

[9] Nicolas Lerner Pseudo-differential operators of degree one are ESA (2019) (manuscript)

[10] Bernard Malgrange Sur les points singuliers des équations différentielles, Enseign. Math., Volume 20 (1974), pp. 147-176 | Zbl

[11] Jacob Palis; Welington de Melo Geometric Theory of Dynamical Systems. An Introduction, Springer, 1982 | DOI

[12] Michael Reed; Barry Simon Methods of modern mathematical physics. II: Fourier analysis, self- adjointness, Academic Press Inc., 1975

[13] Shlomo Sternberg Local C n transformations of the real line, Duke Math. J., Volume 24 (1957), pp. 97-102 | MR | Zbl

[14] Kouichi Taira Equivalence of classical and quantum completeness for real principal type operators on the circle (2020) (https://arxiv.org/abs/2004.07547)

[15] Floris Takens Normal forms for certain singularities of vectorfields, Ann. Inst. Fourier, Volume 23 (1973) no. 2, pp. 163-195 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[16] Wolfgang Wasow Asymptotic expansions for ordinary differentiel equations, Pure and Applied Mathematics, 14, Interscience Publishers, 1965

Cited by Sources: