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no. 5
Bivariables and Vénéreau polynomials
Jérémy Blanc1; Pierre-Marie Poloni1
1 Universität Basel, Departement Mathematik und Informatik, Spiegelgasse 1, CH-4051 Basel, Switzerland.
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 31 (2022) no. 5, pp. 1391-1418.

We study a family of polynomials introduced by Daigle and Freudenburg, which contains the famous Vénéreau polynomials and defines 𝔸 2 -fibrations over 𝔸 2 . According to the Dolgachev–Weisfeiler conjecture, every such fibration should have the structure of a locally trivial 𝔸 2 -bundle over 𝔸 2 . We follow an idea of Kaliman and Zaidenberg to show that these fibrations are locally trivial 𝔸 2 -bundles over the punctured plane, all of the same specific form X f , depending on an element f∈k[a ±1 ,b ±1 ][x]. We then introduce the notion of bivariables and show that the set of bivariables is in bijection with the set of locally trivial bundles X f that are trivial. This allows us to give another proof of Lewis’s result stating that the second Vénéreau polynomial is a variable and also to trivialise other elements of the family X f . We hope that the terminology and methods developed here may lead to future study of the whole family X f .

Nous étudions une famille de polynômes introduits par Daigle et Freudenburg, contenant les célèbres polynômes de Vénéreau, qui définit des 𝔸 2 -fibrations sur 𝔸 2 . D’après la conjecture de Dolgachev–Weisfeiler, toute fibration de ce type devrait avoir la structure d’un 𝔸 2 -fibré localement trivial sur 𝔸 2 . Suivant une idée de Kaliman et Zaidenberg, nous montrons que ces fibrations sont des 𝔸 2 -fibrés localement triviaux sur le plan privé de l’origine, tous de la même forme spécifique X f , dépendant d’un élément f∈k[a ±1 ,b ±1 ][x]. Nous introduisons alors la notion de bivariables et démontrons que l’ensemble des bivariables est en bijection avec l’ensemble des fibrés localement triviaux X f qui sont triviaux. Ceci nous permet de donner une autre preuve du résultat de Lewis établissant que le deuxième polynôme de Vénéreau est une variable et de trivialiser aussi d’autres éléments de la famille X f . Nous espérons que la terminologie et les méthodes développées ici puissent mener à une étude future de toute la famille X f .

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DOI: 10.5802/afst.1724

Jérémy Blanc 1; Pierre-Marie Poloni 1

1 Universität Basel, Departement Mathematik und Informatik, Spiegelgasse 1, CH-4051 Basel, Switzerland.
License: CC-BY 4.0
Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights 
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Jérémy Blanc; Pierre-Marie Poloni. Bivariables and Vénéreau polynomials. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 31 (2022) no. 5, pp. 1391-1418. doi : 10.5802/afst.1724. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1724/

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