Bivariables and Vénéreau polynomials

Jérémy Blanc; Pierre-Marie Poloni

doi:10.5802/afst.1724

Jérémy Blanc ¹ ; Pierre-Marie Poloni ¹

¹ Universität Basel, Departement Mathematik und Informatik, Spiegelgasse 1, CH-4051 Basel, Switzerland.

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 31 (2022) no. 5, pp. 1391-1418.

Résumé
Abstract

Nous étudions une famille de polynômes introduits par Daigle et Freudenburg, contenant les célèbres polynômes de Vénéreau, qui définit des $𝔸^{2}$ -fibrations sur $𝔸^{2}$ . D’après la conjecture de Dolgachev–Weisfeiler, toute fibration de ce type devrait avoir la structure d’un $𝔸^{2}$ -fibré localement trivial sur $𝔸^{2}$ . Suivant une idée de Kaliman et Zaidenberg, nous montrons que ces fibrations sont des $𝔸^{2}$ -fibrés localement triviaux sur le plan privé de l’origine, tous de la même forme spécifique $X_{f}$ , dépendant d’un élément $f \in k [a^{\pm 1}, b^{\pm 1}] [x]$ . Nous introduisons alors la notion de bivariables et démontrons que l’ensemble des bivariables est en bijection avec l’ensemble des fibrés localement triviaux $X_{f}$ qui sont triviaux. Ceci nous permet de donner une autre preuve du résultat de Lewis établissant que le deuxième polynôme de Vénéreau est une variable et de trivialiser aussi d’autres éléments de la famille $X_{f}$ . Nous espérons que la terminologie et les méthodes développées ici puissent mener à une étude future de toute la famille $X_{f}$ .

We study a family of polynomials introduced by Daigle and Freudenburg, which contains the famous Vénéreau polynomials and defines $𝔸^{2}$ -fibrations over $𝔸^{2}$ . According to the Dolgachev–Weisfeiler conjecture, every such fibration should have the structure of a locally trivial $𝔸^{2}$ -bundle over $𝔸^{2}$ . We follow an idea of Kaliman and Zaidenberg to show that these fibrations are locally trivial $𝔸^{2}$ -bundles over the punctured plane, all of the same specific form $X_{f}$ , depending on an element $f \in k [a^{\pm 1}, b^{\pm 1}] [x]$ . We then introduce the notion of bivariables and show that the set of bivariables is in bijection with the set of locally trivial bundles $X_{f}$ that are trivial. This allows us to give another proof of Lewis’s result stating that the second Vénéreau polynomial is a variable and also to trivialise other elements of the family $X_{f}$ . We hope that the terminology and methods developed here may lead to future study of the whole family $X_{f}$ .

Reçu le : 2020-05-03
Accepté le : 2020-11-24
Publié le : 2022-12-08

DOI : 10.5802/afst.1724

Affiliations des auteurs :

Jérémy Blanc ¹ ; Pierre-Marie Poloni ¹

¹ Universität Basel, Departement Mathematik und Informatik, Spiegelgasse 1, CH-4051 Basel, Switzerland.

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Jérémy Blanc; Pierre-Marie Poloni. Bivariables and Vénéreau polynomials. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 31 (2022) no. 5, pp. 1391-1418. doi : 10.5802/afst.1724. https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1724/

Bibliographie
Cité par

[1] Hyman Bass; Edwin H. Connell; David Wright Locally polynomial algebras are symmetric algebras, Invent. Math., Volume 38 (1977) no. 3, pp. 279-299 | DOI | MR | Zbl

[2] Shrikant M. Bhatwadekar; Amartya K. Dutta On affine fibrations, Commutative Algebra (Trieste, 1992), World Scientific, 1994, pp. 1-17 | Zbl

[3] Daniel Daigle; Gene Freudenburg Families of Affine Fibrations, Symmetry and spaces (Progress in Mathematics), Volume 278, Birkhäuser, 2010, pp. 35-43 | DOI | MR | Zbl

[4] Igor V. Dolgachev; Boris Yu. Weisfeiler Unipotent group schemes over integral rings, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., Volume 38 (1974), pp. 757-799 | MR | Zbl

[5] Adrien Dubouloz $𝔸^{2}$ -Fibrations between affine spaces are trivial $𝔸^{2}$ -bundles (2017) (https://arxiv.org/abs/1704.04440)

[6] Eric Edo; Stéphane Vénéreau Length 2 variables of $A [x, y]$ and transfer, Ann. Pol. Math., Volume 76 (2001) no. 1-2, pp. 67-76 | MR | Zbl

[7] Gene Freudenburg The Vénéreau polynomials relative to $ℂ^{*}$ -fibrations and stable coordinates, Affine algebraic geometry, Osaka University Press, 2007, pp. 203-215 | MR | Zbl

[8] M’hammed El Kahoui; Mustapha Ouali A note on residual coordinates of polynomial rings, J. Commut. Algebra, Volume 10 (2018) no. 3, pp. 317-326 | MR | Zbl

[9] Shulim Kaliman; Mikhail Zaidenberg Families of affine planes: the existence of a cylinder, Mich. Math. J., Volume 49 (2001) no. 2, pp. 353-367 | MR | Zbl

[10] Shulim Kaliman; Mikhail Zaidenberg Vénéreau polynomials and related fiber bundles, J. Pure Appl. Algebra, Volume 192 (2004) no. 1, pp. 1-3 | Zbl

[11] Tatsuji Kambayashi; David Wright Flat families of affine lines are affine-line bundles, Ill. J. Math., Volume 29 (1985) no. 4, pp. 672-681 | MR | Zbl

[12] Hanspeter Kraft; Peter Russell Families of group actions, generic isotriviality, and linearization, Transform. Groups, Volume 19 (2014) no. 3, pp. 779-792 | DOI | MR | Zbl

[13] Drew Lewis Vénéreau-type polynomials as potential counterexamples, J. Pure Appl. Algebra, Volume 217 (2013) no. 5, pp. 946-957 | DOI | MR | Zbl

[14] Daniel Quillen Projective modules over polynomial rings, Invent. Math., Volume 36 (1976), pp. 167-171 | DOI | MR | Zbl

[15] Andrei A. Suslin Projective modules over polynomial rings are free, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 229 (1976) no. 5, pp. 1063-1066 | MR | Zbl

[16] Stéphane Vénéreau Automorphismes et variables de l’anneau de polynômes $A [y_{1}, \dots, y_{n}]$ , Ph. D. Thesis, Institut Fourier des mathématiques, Grenoble, France (2001)

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